Ändert die Symmetrisierung der Wellenfunktion die Energie?

Angenommen, zwei nicht wechselwirkende Elektronen in einem zeitunabhängigen Potential, beschrieben durch die Gleichung:

H ψ ( R 1 , R 2 ) = − ℏ 2 2 M ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) ψ ( R 1 , R 2 ) + v ( R 1 ) ψ + v ( R 2 ) ψ = E
Wir können diese Gleichung unter der Annahme trennen ψ ( R 1 , R 2 ) = ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) . Im Prozess der Lösung bekommen wir E = E 1 + E 2 , So:

H ψ 1 ( R 1 ) ψ ( R 2 ) = ( E 1 + E 2 ) ψ 1 ( R 1 ) ψ ( R 2 ) = E ψ 1 ( R 1 ) ψ ( R 2 )

Wenn ich jetzt sage, dass die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch sein muss, kann ich beide Lösungen kombinieren:

ψ T Ö T A L = 1 2 [ ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 1 ) − ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) ]

Aber nun ist diese Wellenfunktion nicht unbedingt ein Eigenvektor von H , ändert also das Schreiben der Wellenfunktion auf diese Weise die Energie des Gesamtzustands? Ich weiß, dass der erste Term der Gesamtwellenfunktion der Eigenvektor von ist H , aber die zweite nicht, was sind also die möglichen Energien für dieses System?

Antworten (1)

In Ihrem speziellen Fall, in dem Sie trennbare Wellenfunktionen betrachten (Hamiltonian hat Ihre Partikel ohne Wechselwirkung), verstehe ich nicht, warum Sie sagen, dass die Form ψ T Ö T A L = 1 2 [ ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 1 ) − ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) ] ist nicht unbedingt eine Lösung.

Tatsächlich ist dies nur eine lineare Kombination von Hartree-Produkten von Ein-Elektronen-Wellenfunktionen. Sie konnten diese Produkte einzeln als Lösung akzeptieren, warum also nicht eine lineare Kombination?

Plus, wenn Sie das verstehen < ψ 1 ( R 1 ) ψ ( R 2 ) | H | ψ 1 ( R 1 ) ψ ( R 2 ) >= E 1 + E 2 = E , können Sie sehr einfach überprüfen, was für Ihre Schieferdeterminante vor sich geht:

H | ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) − ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >= H | ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) > − H | ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >
= ( E 1 + E 2 ) | ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) > − ( E 1 + E 2 ) | ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >= E | ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) − ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >

so dass < ψ T Ö T A L | H | ψ T Ö T A L >= E , die dir die gleiche Energie geben

BEARBEITEN: Um zu sehen, dass das ausgetauschte Produkt den gleichen Wert ergibt, bedenken Sie, dass Sie Ihren Hamilton-Operator in zwei Teile teilen können: H = H 1 + H 2 Wo

H ich = − ℏ 2 2 M ∇ ich 2 + v ( R ich )
Jeder dieser Hamiltonianer wirkt nur auf ein Teilchen, also haben Sie:
H | ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) >= ( H 1 | ψ 1 ( R 1 ) > ) ⊗ | ψ 2 ( R 2 ) > + ψ 1 ( R 1 ) > ⊗ ( H 2 | ψ 2 ( R 2 ) > )
mit H 1 | ψ 1 ( R 1 ) >= E 1 | ψ 1 ( R 1 ) > Und H 2 | ψ 2 ( R 2 ) >= E 2 | ψ 2 ( R 2 ) >

Jetzt können Sie erkennen, dass die beiden Hamiltonianer gleich sind , nur dass sie auf unterschiedliche Teilchen einwirken. Rechts? Also, wenn Sie haben H 1 | ψ 1 ( R 1 ) >= E 1 | ψ 1 ( R 1 ) > , du musst haben H 2 | ψ 1 ( R 2 ) >= E 1 | ψ 1 ( R 2 ) > weil H1 und H2 dieselben Hamiltonianer sind (die nur auf r1 oder r2 wirken) und denselben Eigenwert für denselben Eigenvektor ergeben. Deshalb:

H | ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >= ( H 1 | ψ 2 ( R 1 ) > ) ⊗ | ψ 1 ( R 2 ) > + ψ 2 ( R 1 ) > ⊗ ( H 2 | ψ 1 ( R 2 ) > )
= E 2 | ψ 2 ( R 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( R 2 ) > + E 1 ψ 2 ( R 1 ) > ⊗ | ψ 1 ( R 2 ) >= ( E 1 + E 2 ) | ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) >

Ich weiß, dass es eine Lösung ist, meine Frage war, ob es eine Lösung mit demselben Eigenwert war. Der Punkt der Verwirrung ist, weil ich nicht sehen kann, warum H ψ 2 ( R 1 ) ψ 1 ( R 2 ) = E 2 + E 1 . Wenn ich nur den Fall mit geänderten Koordinaten kenne.
Fragen Sie sich, warum Sie das überhaupt akzeptiert haben ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) war ein Eigenvektor von H mit Eigenwert E 1 + E 2 . Der gleiche Gedankengang sollte Sie dazu bringen, dasselbe für die ausgetauschte Wellenfunktion zu akzeptieren, da die Hamiltonain für beide Teilchen gleich ist. Nebenbei bemerkt, Sie schreiben Ihre Eigenwertbeziehung falsch; Der Hamiltonian reduziert eine Wellenfunktion nicht auf einen reellen Wert
Ich nahm an, ich hätte die Gleichung gelöst und herausgefunden, wenn Sie jetzt für den anderen Fall lösen, warum würden Sie dasselbe bekommen?
Beim Trennen von Variablen, die zwei Konstanten definieren, erhalten wir am Ende das E ist die Summe aus beidem.
bearbeitet, um durch Trennen des Hamiltonian zu antworten
Danke, das muss man einfach ergänzen v 1 = v 2 .
Wenn Sie über Ihre Antwort nachdenken, machen wir deshalb Symmetrisierung für identische Teilchen, was gleiche Masse und gleiches V (r) bedeutet. Denn wenn dies nicht der Fall wäre, würden wir die Energie verändern.
Ändert die Symmetrisierung der Wellenfunktion die Energie?
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