Gibt es ein quantenmechanisches Analogon zur quartischen λϕ4λϕ4\lambda \phi^{4}-Wechselwirkung der QFT?

Der Übergang zurück zur gewöhnlichen Quantenmechanik wird bewerkstelligt, indem man die Wahrscheinlichkeitsamplituden in der Art und Weise herausarbeitet$N$-Teilchenzustände entwickeln sich mit der Zeit. Wenn dies geschehen ist, interagieren die Teilchen mit "Kontakttermen", Potentialen, die proportional zu sind$\delta(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j)$. Für Details siehe die Entwicklung im ersten Kapitel von Brian Hatfields "Quantum Field Theory of Point Particles and Strings".

Allerdings wird oft wiederholt, dass die gewöhnliche Quantenmechanik nur eine Quantenfeldtheorie ohne räumliche Dimensionen ist. Unter der Zuordnung impliziert die$\phi^4$Theorie werden würde

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 + \lambda x^4.$$ Mit einer zählbaren Anzahl von Teilchen, die nur eine Summe ist, indem man Indizes hinzufügt $p$Und $x$.

Der Übergang zurück zur Kontinuumsmechanik ist schwierig, und ich kenne nicht alle Details genau (Lehrbücher werden in Bezug auf diesen Weg normalerweise ein wenig handgewellt). Ich kann jedoch mit Zuversicht sagen, dass sich jeder Begriff vermischt$x_i \rightarrow f_i \sqrt{h^3}$mit verschiedenen Indizes, wo$h$der Abstand zwischen benachbarten Stellen ist, wird entweder eine Ableitung oder verschwindet beim Kontinuumsübergang. Der$\lambda$der diskreten Theorie neu abgebildet werden müsste$\lambda\rightarrow \lambda h^{-3}$, zum Beispiel, um die zu halten$\lambda \phi^4$Begriff vom Verschwinden in der Grenze$h \rightarrow 0$. Alle der$m_i$müsste das gleiche sein (sagen wir,$1$), durch Lorentz-Invarianz, und die Federn, die die verbinden$x_i$müssten Federkonstanten haben, die wie divergieren$h^{-1}$um die räumlichen Ableitungen zwischen benötigten Standorten zu erzeugen. Der Zwischen-Hamiltonoperator ist also gegeben durch

$$\begin{align} H &= \sum_{i,j,k=-N}^N \left[\frac{1}{2}p_{i,j,k}^2 h^3 + \frac{1}{2} (f_{i+1,j,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j+1,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j,k+1}-f_{i,j,k})^2 h^2 \right. \\ & \hphantom{= \sum_{i,j,k=-N}^N}\ \ \left. + \frac{m^2}{2}f_{i,j,k}^2 h^3 + \lambda f_{i,j,k}^4 h^3\right] \end{align}$$ und die Kontinuumsmechanik wird durch Anwendung wiederhergestellt $\lim_{h\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty}$.

Beachten Sie, dass die Transformation wo$x_i\rightarrow f_i\sqrt{h^3}$Und$p_i\rightarrow p_i\sqrt{h^3}$ist keine kanonische Änderung von Variablen. Ausgehend vom Lagrange ist es einfach, dies anhand der Definition des kanonisch konjugierten Impulses zu zeigen$p_i$würde sich verwandeln als$p_i \rightarrow p_i h^{-3/2}$wenn es wäre. Was hier vor sich geht, ist Folgendes: Um einen sauberen Hamiltonoperator zu erhalten, der zu einem Integral einer Dichte wird, müssen wir die kanonische Kommutierungsbeziehung so modifizieren, dass sie gelesen wird

$$[f_{i,j,k},\, p_{n,\ell,m}] = i\hbar \delta_{in}\delta_{j\ell}\delta_{km} h^{-3},$$ wo die rechte Seite jetzt tatsächlich eine Dirac-Delta-Funktion in der Kontinuumsgrenze wird, anstatt nur zu sagen, dass Kronecker-Deltas zu Dirac-Deltas werden.

Alles in allem gibt es einen Grund dafür, dass der im ersten Absatz erwähnte übliche Übergang zurück zum gewöhnlichen QM so kompliziert ist. Im normalen QM$x$ist die beobachtbare Position eines Teilchens. In der QFT sind die Teilchenpositionen immer noch die fundamentalen Observablen, nur werden die Teilchen jetzt als Anregungen in einem Feld beschrieben. Die Feldstärke ist jedoch nicht direkt beobachtbar, sie kann nur im Durchschnitt abgeleitet werden, wenn sie stark genug ist, um durch die Injektion mehrerer kleiner Testpartikel, deren Positionen wir messen, nicht wesentlich gestört zu werden.