Propagatoren und Wahrscheinlichkeiten im Heisenberg-Bild

Dies ist eine Verwechslung zwischen Raum-Zeit-Ausbreitung und Raum-Ausbreitung. Ihr formales Argument wird durch die Einführung einer expliziten Zeit in die Felder verdeutlicht:

$$|x\rangle = \phi(x,0)|0\rangle$$

Dieser Teil ist eine Definition – Sie definieren den Zustand auf der linken Seite als den Zustand auf der rechten Seite. Es ist nicht ganz richtig, dies als lokalisierten Zustand zu interpretieren, wie ich weiter unten erläutern werde, sondern zunächst die formale Verwirrung aufzuklären.

Dann möchten Sie fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Teilchen bei x zur Zeit 0 zur Zeit t nach y ausbreitet. Sie wenden den Zeitentwicklungsoperator an:

$$U(t) |x\rangle = e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Dann fragen Sie, was die Überschneidung davon mit dem Staat ist$|y\rangle$:

$$\langle y | U(t) |x\rangle = \langle 0 | \phi(y,0) e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Aber denken Sie daran, dass der Heisenberg t-abhängige Feldoperator ist:

$$\phi(y,t) = e^{iHt} \phi(y,0) e^{-iHt}$$

Damit obiges gleich ist:

$$\langle y | U(t) |x \rangle = \langle 0 | e^{-iHt} \phi(y,t) \phi(x,0)|0\rangle$$

Und jetzt verwenden Sie die Tatsache, dass das Vakuum ein Eigenzustand mit Nullenergie ist, und Sie schließen daraus, dass der Propagator gleich der Korrelationsfunktion ist. Dies ist die formale Ableitung.

Das Problem dabei ist nur, dass ich den Zustand als lokalisierten Zustand definiert habe

$$|x\rangle = \phi(x) |0\rangle = \int {d^dk\over (2\pi)^d (2\omega_k)} \sqrt{(2\pi)^d 2\omega_k} ||k\rangle$$

Wo$||k\rangle$ist der normalisierte k-Zustand (der Grund, warum ich es so geschrieben habe, ist, dass beide Teile, das Maß und der k-Zustand, auf diese Weise relativistisch kovariant sind - das ist relativistische Normalisierung), kann nicht als dreidimensionales lokalisiertes Teilchen interpretiert werden. Dieser Zustand hat keine Überlappung mit raumartiger Trennung$\langle y|$.

$$\langle y | x \rangle \ne 0$$

für x verschieden von y. Der Propagator verschwindet nicht bei raumartigen Trennungen. Das bedeutet, dass die Staaten$|x\rangle$sind nicht die Eigenwerte eines Positionsoperators.

Historisch gesehen verwirrte das die Leute ohne Ende, bis Feynman und Schwinger die Sache erklärten. Das Teilchenbild ist nicht nur im Raum, es ist in der Raumzeit, und dann können Sie den Zustand betrachten$|x\rangle$als ein in der Raumzeit lokalisiertes Teilchen, das sich in der Raumzeit rückwärts und vorwärts ausbreitet. Nur in der nichtrelativistischen Grenze geht die gesamte Fortpflanzung zeitlich vorwärts, und in diesem Fall haben Sie einen normalen x-Operator und das ganze übliche Quantenzeug geht durch. Im relativistischen Fall ist die freie Korrelationsfunktion die Amplitude, die zeitlich im Zickzack von x nach y geht, was durch Scwingers Darstellung erklärt wird.

$$\langle y | x\rangle = \int {1\over (2\pi\tau)^{d\over 2}} e^{-(x-y)^2\over 2\tau}\tau$$

Was in imaginärer Zeit gilt. Die Schwinger-Darstellung ist der Teilchenpfad-Formalismus für relativistische Quantenfelder und entspricht Feynmans Ausbreitungsbild für Teilchenwechselwirkungen und entspricht der Quantenfeldtheorie im Hamilton- oder Lagrange-Rahmen.

Der Staat$\phi(x)|0\rangle$, Wo$x=x^\mu$, entwickelt sich bereits mit der Zeit (oder ist zeitabhängig). Anwendung des Evolutionsoperators$e^{\pm i H t }$verschiebt nur den Zustand in der Zeit. Es ist daher unnötig, diesen Schritt auszuführen.

Alle Ihre anderen Schritte scheinen korrekt zu sein.

Die Lagrange-Dichte für das Klein-Gordon-Feld ist:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

und der Hamiltonoperator ist gegeben durch:

$$H = \int d^3x [\pi(\textbf{x})\dot{\phi}(\textbf{x})-\mathcal{L}]$$

Wo

$$\pi(\textbf{x}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\textbf{x})}$$

Es gibt eine implizite Zeitabhängigkeit in Ihrem Hamilton-Operator. Daher ist die Zeitentwicklung nicht so einfach wie das Anwenden$e^{iHT}$. Sie werden auf komplizierte Dinge wie Dyson-Serien stoßen.

Warum$\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$der Propagator ist, ist das Argument sehr einfach: Stellen Sie sich vor, die Feldoperatoren sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (da sie nichts als Linearkombinationen davon sind). Die Idee dahinter, diese Menge als Propagator zu bezeichnen, ist, dass Sie einen Zustand zerstören würden$y$und erstellen Sie eine an$x$. Daher breitete sich das Teilchen aus$y$Zu$x$. Aber ich habe das Gefühl, dass Sie das bereits wussten und das einfach mit der Quantenmechanik in Einklang bringen wollten; Ich habe es nur erwähnt, falls du es nicht wusstest.