Warum verletzt die Klein-Gordon-Gleichung das Postulat der Quantenmechanik?

Die GK-"Norm"

$$\langle \phi|\phi\rangle = \int d^3 x (\phi^*\partial_t \phi-(\partial_t \phi^*)\phi)$$ ist für Lösungen der KG-Gleichung zeitunabhängig , kann aber negativ sein. Was auch immer es ist, es ist keine Wahrscheinlichkeit.

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Schrödinger-Norm

$$\langle \psi|\psi\rangle = \int d^3x |\psi|^2$$ ist zeitunabhängig für $$i\partial_t \psi(x,t) = \left(- \frac 12 \nabla^2+ V(x,t)\right)\psi(x,t)$$ sogar für$V$es hängt davon ab$t$, aber noch wichtiger$|\psi|^2$ist positiv, also$\langle \psi|\psi\rangle$kann eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation haben. Jedoch, wenn$\phi$befriedigt$KG$eher als Shroedinger gibt es keinen Grund dafür$\int |\phi|^2d^3x$zeitunabhängig zu sein.

Dies ist am einfachsten in Bezug auf konservierte Dichten und Ströme zu beantworten. Ein allgemeines Ortserhaltungsgesetz hat die Form

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf{J}$$ Für die Schrödinger-Gleichung, multiplizierend mit dem konjugierten Komplex, haben wir $$\psi^\star i\hbar\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi^\star\nabla^2\psi+V(x)\psi^\star\psi$$ Wenn wir das komplexe Konjugierte des obigen Ausdrucks nehmen und es dann von dem obigen subtrahieren, haben wir $$\begin{align}i\hbar (\psi^\star\partial_t\psi+\psi\partial_t\psi^\star)&=-\frac{\hbar^2}{2m}(\psi^\star\nabla^2\psi+\psi\nabla^2\psi^\star)\\ \partial_t(\psi^\star\psi)&=\nabla\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}(\psi^\star\nabla\psi+\psi\nabla\psi^\star)\right) \end{align}$$ Damit haben wir eine Erhaltungsgröße,$\rho=\phi^\star\phi$. Dies kann als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, das Teilchen zu finden; es ist positiv definit. Wenn wir dies jedoch für Klein-Gordon tun, haben wir es getan $$\begin{align}(\phi^\star\partial^2_t\phi-\phi\partial^2_t\phi^\star)&=c^2(\psi^\star\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^\star)\\ \partial_t(\phi^\star\partial_t\phi-\phi\partial_t\phi^\star)&=\nabla\cdot(c^2(\psi^\star\nabla\psi-\psi\nabla\psi^\star)) \end{align}$$ Somit ist hier die Erhaltungsgröße$\rho=\phi^\star\partial_t\phi-\phi\partial_t\phi^\star$; dies ist nicht immer positiv definit und kann daher unmöglich als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden.

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Beachten Sie, dass dies mit Mr. Stones Antwort übereinstimmt. Für Schrödinger haben wir

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle\psi|\psi\rangle &= \int_\mathcal{V} \psi^\star\psi\\ &=\int_\mathcal{V}dV\partial_t\rho\\ &=\int_\mathcal{V}dV\, \nabla\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}(\psi^\star\nabla\psi+\psi\nabla\psi^\star)\right)\\ &=\int_\mathcal{S}d\mathbf{a}\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}(\psi^\star\nabla\psi+\psi\nabla\psi^\star)\right)\\ &= 0 \end{align}$$ Weil$\mathcal{V}$ist über allen Raum. Somit ist die Schrödinger-Norm zeitunabhängig. Für Klein-Gordon ist es genau das gleiche Geschäft $$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle\psi|\psi\rangle &= \int_\mathcal{V} (\phi^\star\partial_t\phi-\phi\partial_t\phi^\star)\\ &=\int_\mathcal{V}dV\partial_t\rho\\ &=\int_\mathcal{V}dV\, \nabla\cdot\left(c^2(\psi^\star\nabla\psi+\psi\nabla\psi^\star)\right)\\ &=\int_\mathcal{S}d\mathbf{a}\cdot\left(c^2(\psi^\star\nabla\psi+\psi\nabla\psi^\star)\right)\\ &= 0 \end{align}$$