Was versteht man in der Physik der kondensierten Materie unter einer „Lücke“ und warum ist sie so wichtig?

Diskrete Spektren und Lücke in der Quantenmechanik

Lassen Sie mich zunächst daran erinnern, dass die Diskretion von Energieniveaus eine sehr wichtige Rolle in der Quantenmechanik spielt, zB erklärt es die Spektrallinien von Atomen, den photoelektrischen Effekt usw. Wenn wir es mit Systemen aus vielen Teilchen zu tun haben, verschmelzen ihre Energieniveaus oft zu einem Band, aber die Diskretheit des Spektrums zeigt sich immer noch in Form einer Lücke. Alternativ kann in einigen Systemen, die nicht durch ein diskretes Spektrum gekennzeichnet sind, wie z. B. atomare Flüssigkeiten, eine Lücke als Ergebnis von Wechselwirkungen auftreten.

Bandabstand

@PetrPovolodov hat bereits auf die Rolle der Lücke in optischen Halbleiterspektren hingewiesen, die der Diskretion der Energieniveaus in einzelnen Atomen sehr nahe kommt, wenn wir zB die optische Absorption diskutieren.

Auch die elektrischen Phänomene in Halbleitern sind von der Lücke abhängig – zB hängt die Konzentration von Elektronen im Leitungsband und Löchern im Valenzband davon ab, wie viele Valenzelektronen bei der gegebenen Temperatur über die Lücke angeregt werden, also der Aktivierung folgt Gesetz:

$$e^{\frac{E_g}{k_BT}}$$

Lückenhafte und lückenlose Systeme

Aus Sicht der Theorie kritischer Phänomene charakterisiert das Vorhandensein/Fehlen der Lücke verschiedene Phasen eines Systems. Somit unterscheiden sich Halbleiter/Isolatoren von Metallen dadurch, dass bei den ersteren die Anregungen mit der niedrigsten Energie lückenhaft sind, während bei den letzteren die Anregungen lückenlos sind. Dies schafft einen großen Unterschied zwischen diesen Arten von Materialien (isolierend vs. leitend). Warum einige Systeme Isolatoren sind, während andere Leiter sind, wird als Metall-Isolator-Übergang bezeichnet (obwohl dieser Übergang in einem einzelnen Material schwer zu beobachten ist). In ähnlicher Weise kennzeichnet das Auftreten einer Lücke oft andere Phänomene, wie beispielsweise das Auftreten von Supraleitung.

Beispiel
In den Kommentaren wurde ein Beispiel besprochen, das die verschiedenen Bedeutungen einer Lücke gut veranschaulicht . Betrachten wir ein Modell von Multi-Level-Sites, die durch Tunneling gekoppelt sind:

$$H=\sum_\alpha\left[h_\alpha\sum_jc_{j,\alpha}^\dagger c_{j,\alpha} + \lambda_\alpha\sum_j(c_{j,\alpha}^\dagger c_{j+1,\alpha}+h.c.)\right]$$ Das Diagonalisieren dieses Hamilton-Operators ergibt so etwas wie: $$\bar{H}=\sum_{k,\alpha}\epsilon_\alpha \bar{n}_{k,\alpha},\bar{n}_{k,\alpha}=\bar{c}_{k,\alpha}^\dagger \bar{c}_{k,\alpha},\\\epsilon_{k,\alpha}=h_\alpha+2\lambda_\alpha\cos(\frac{2\pi k}{N})$$ Wir sehen, dass sich jede Ebene in ein breites Band verwandelt hat$\lambda\alpha$, zentriert auf der ursprünglichen Energieebene$\h_\alpha$.

Band-(Nicht-)Überlappung: Lücke in der Zustandsdichte
Abhängig von den Werten von$h\alpha$Und$\lambda_\alpha$die Bänder können sich überlappen oder auch nicht, obwohl die ursprünglichen Pegel nicht degeneriert waren. Wenn wir also die Zustandsdichte berechnen, kann sie Bereiche haben oder nicht, in denen sie Null ist, was viele Eigenschaften des Materials beeinflusst, wie z. B. optische Absorption, elektrische Leitfähigkeit usw.

Bandfüllung: Anregungslücke
Angenommen, die Bänder überlappen sich nicht. Sie sind bis zum Fermi-Niveau mit Elektronen gefüllt,$E_F$. Wenn das Fermi-Niveau zwischen zwei nicht überlappenden Bändern liegt, in dem Bereich, in dem die Zustandsdichte Null ist, besteht der einzige Weg zu angeregten Elektronen darin, sie vom gefüllten Band in das leere Band zu übertragen, dh über die Lücke. In diesem Fall ist das Material ein Isolator, während, wenn das Fermi-Niveau innerhalb eines der Bänder wäre, die Anregungen lückenlos wären und das Material ein Metall wäre.

Coulomb-Wechselwirkung
Fügen wir nun zu unserer hamiltonschen One-Site-Coulomb-Wechselwirkung hinzu:

$$H_C=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta\neq\alpha}\sum_j U_{\alpha\beta}n_{j,\alpha}n_{j,\beta}$$ (Aus Gründen der Kohärenz der Diskussion vernachlässige ich den Spin, obwohl dieser Hamilton-Operator normalerweise als Hubbard-Modell bezeichnet wird und die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den gegensätzlichen Zuständen des Spins stattfindet.)

Nun, selbst wenn das Fermi-Niveau innerhalb eines Bandes liegt, und selbst wenn sich die Bänder überlappen, kann die Anregung eines Elektrons endliche Energie erfordern - dies wird besonders deutlich, wenn die Coulomb-Wechselwirkung größer als die Bandbreite ist:

$$U_{\alpha\beta}>2\lambda_\alpha,2\lambda_\beta$$ (Die Realität ist in einer Dimension etwas kniffliger, da wir die Luttinger-Flüssigkeitseffekte berücksichtigen müssen, aber die Diskussion gilt auch für höhere Dimensionen.)

Grob gesagt...

Wenn Sie ein isoliertes Atom haben, sind die zulässigen Energiezustände diskret, sodass ein Elektron eine bestimmte Mindestenergiemenge gewinnen oder verlieren muss, um sich zwischen den Ebenen zu bewegen. Wenn Sie Atome zu einem Festkörper zusammenbringen, ändern sich ihre zulässigen Energiezustände etwas. Wo Sie einen einzelnen Energiezustand in jedem Atom hatten, als sie voneinander isoliert waren, erhalten Sie, wenn Sie n Atome zusammenbringen, anstatt n Instanzen desselben diskreten Energiezustands um jedes Atom herum zu haben, eine Menge von n unterschiedlichen Zuständen, die alle verteilen über dem Festkörper, die energetisch eng beieinander liegen, ein sogenanntes Band von Zuständen. Es ist, als ob sich jedes Energieniveau im isolierten Atom zu einem breiten Band zulässiger, aber eng beieinander liegender Energieniveaus im Festkörper ausdehnt. Der entscheidende Punkt ist, dass, da jedes Band eine Energiebreite hat, der Energieabstand zwischen jedem aufeinanderfolgenden Band ist geringer als der entsprechende Energieabstand zwischen den einzelnen Zuständen in einem isolierten Atom. Das heißt, wo im isolierten Atom ein Elektron eine bestimmte Energiemenge brauchte, um zwischen zwei aufeinanderfolgenden Energieniveaus zu springen, braucht ein Elektron weniger Energie, um zwischen den entsprechenden Bändern zu springen. Tatsächlich können die Energiebänder je nach Art des Festkörpers so breit sein, dass die Lücke zwischen ihnen verschwindet, sodass es für ein Elektron sehr einfach wird, in ein höheres Band befördert zu werden.

Sie können sich daher leicht vorstellen, dass die elektronischen Eigenschaften eines Festkörpers von der Breite der Bänder und Lücken abhängen und davon, ob die Bänder vollständig besetzt sind oder nicht (das Fermi-Ausschlussprinzip verhindert, dass ein Band von mehr Elektronen besetzt wird, als vorhanden sind). Zustände). Wenn ein Band nicht vollständig besetzt ist, kann ein Elektron leicht auf eines der höheren, eng beieinander liegenden Energieniveaus im Band befördert werden. Wenn ein Band voll ist und eine große Energielücke zum nächsten Band mit unbesetzten Zuständen besteht, wird mehr Energie benötigt, um ein Elektron in einen höheren Zustand zu bringen.

Eine Energielücke ist wichtig. Beispielsweise gibt es in Halbleitern eine Energielücke, was bedeutet, dass Sie im Prinzip eine Energiebegrenzung haben. Befindet sich zum Beispiel ein Elektron im Halbleiter, kann es mit einem freien Raum (Loch genannt) mit einer Photonenerzeugung „vernichten“. Die Lücke im System bedeutet also, dass die Energie höher ist als die Lückenenergie.

Umgekehrt gilt, wenn Sie einen Halbleiter mit Licht beleuchten, kann er ein Photon mit einer höheren Energie als der Bandlücke absorbieren. Was als Fotoeffekt bekannt ist

Bemerkungen:

1. Sie erhalten eine Lücke zwischen Elektronen- und Lochdispersionen, wenn Sie für ein Halbleiterkristallpotential nachdenken und die Schrödinger-Gleichung lösen

2. Dies gilt für einen idealen Halbleiter. Bei einem echten kann es zu Komplikationen kommen