Grundzustand eines quantenmechanischen Systems

Als ich auf meine Vorlesungen in Quantenmechanik zurückblickte, fiel mir auf, dass Annahmen über den Grundzustand eines quantenmechanischen Systems eher vage und ungenau waren. Es wird immer angenommen, dass ein Grundzustand existiert und dass er eine endliche Energie hat. Also meine Fragen sind folgende:

  1. Sollte jedes quantenmechanische System einen Grundzustand haben? Und wie können wir uns dessen sicher sein?

  2. Sollte dieser Grundzustand eine endliche Energie haben?

  3. Oder ist eine Energie von − ∞ auch erlaubt?

Einen sauberen Beweis für den Grundzustand gibt DJ Griffiths in "Introduction to Quantum Mechanics" für das einfachste System (Aufgabe 2.2). Dort wird gezeigt, dass man einen Energie-Eigenzustand hat ψ ( X ) (der Einfachheit halber im Positionsraum arbeitend ) mit Energie E , So:

H ^ ψ ( X ) = E ψ ( X ) ,
wobei wir ein einfaches nicht-relativistisches Punktteilchen betrachten, also
H ^ = T ^ + v ^ .
Indem Sie dies auf die Gleichung für den Eigenzustand anwenden ψ ( X ) Dies ergibt:
[ − ℏ 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 + v ( X ) ] ψ ( X ) = E ψ ( X ) ,
oder (nach einigem einfachen Umschreiben) als:
∂ 2 ψ ( X ) ∂ X 2 = 2 M ℏ 2 [ v ( X ) − E ] ψ ( X ) .
Für den Fall, dass wir eine Energie hätten, die kleiner als das Minimum ist v ( X ) (unter der Annahme, dass das Potential ein Minimum hat), wäre die Wellenfunktion da nicht normierbar ψ ( X ) Und ∂ X X ψ ( X ) die das gleiche Vorzeichen haben. Das liegt daran, dass ψ ( X ) kann nur ein Minimum haben, wenn es positiv ist, und ein Maximum, wenn es negativ ist, was den nicht normalisierbaren Charakter ergibt.

  1. Das lässt mich also immer noch mit der Frage zurück, woher sie es sicher für Potentiale der Coulomb-Art wissen?

  2. und wie tun sie dies in der Quantenfeldtheorie (und im weiteren Sinne in der klassischen Physik)?

Ich weiß, dass diese Frage in der gleichen Argumentationslinie steht wie ( Warum versucht ein System, potenzielle Energie zu minimieren? ) Kindoff. Aber was ich suche, ist nicht "Warum tendiert alles zu einer minimalen Energie". Aber mehr "Warum nehmen wir an, dass ein so minimaler Energiezustand existiert?".

Antworten (3)

Der Hamiltonoperator guter physikalischer Systeme wird immer als nach unten begrenzt angenommen, das heißt, es gibt einen Zustand mit niedrigster Energie, den Grundzustand. Da Sie immer alle Energien verschieben können (in nicht-relativistischer QM), könnten Sie alle Energien verschieben − ∞ im Prinzip, obwohl der Abstand zwischen dem Grundzustand und den angeregten Zuständen gleich bleiben würde.

Das Fehlen eines Grundzustands würde eine Art Instabilität im System bedeuten. Beispielsweise bilden nicht wechselwirkende Bosonen im großkanonischen Ensemble bei Nulltemperatur kein gutes System bei positivem chemischem Potential: Sie können eine unendliche Anzahl von Bosonen in den Zustand von Nullimpuls versetzen, was eine unendliche Dichte und eine unendliche Dichte impliziert unendliche (negative) Energie. Dies ist kein gesunder Zustand der Materie.

Also mehr aus der Argumentation der statistischen Physik, wo zum Beispiel, wenn T → 0 das System in eine Art stationären Zustand gehen sollte? Denn wenn ich an ein Coulomb-System denke, kann das Potenzial nach oben gehen − ∞ , bedeutet das nicht, dass die Energie weiter abnehmen kann, so dass der Grundzustand undefiniert wäre?
Vorsicht, quantenmechanisch ist es nicht, denn das Potential geht (naiverweise) zu − ∞ zu dem die Grundzustandsenergie geht − ∞ . Genau so löst QM die Atomstabilität. Die Beschränktheit des Hamiltonoperators ist nicht dieselbe wie die des Potentials.
so klassisch sollten wir nicht immer einen Grundzustand haben? Ja, ich musste in meinem zweiten Jahr das Wasserstoffatom lösen und da ist das Elektron aufgrund der Quantenmechanik nicht mit dem Proton zusammengestoßen. Aber ich habe mich gefragt, wie wir uns dieses Grundzustands sicher sein können. Ich habe in meiner Frage einen Beweis für einfache Systeme hinzugefügt. Aber ich bin mir immer noch nicht sicher, wie wir sagen können, dass es im Allgemeinen wahr ist. Natürlich könnte ein System ohne Grundzustand aus physikalischer Sicht albern sein. Ich habe mich vielleicht mehr über das Mathematische gewundert. Warum können Sie Ihre Energien in der relativistischen Quantenmechanik nicht verschieben?
In der speziellen Relativitätstheorie ist die Energie nicht unabhängig, man muss sie sich als Teil eines 4-Vektors vorstellen, mit dem Impuls. Sie können also nicht einfach die Energie verschieben, ohne den Impuls zu ändern.
Richtig dumm von mir, hätte das wissen müssen! Ja, es scheint mir irgendwie vernünftig, dass es einen Grundzustand geben sollte, da das System nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in diesen Zustand minimaler Energie gehen würde. Wenn wir also ein System mit einem Grundzustand mit unendlich kleiner Energie hätten, könnten wir Energie für immer gewinnen. Diese Art von System wird noch nicht beobachtet. Und was das Bosonensystem betrifft, ergibt eine Bose-Einstein-Kondensation nicht eine makroskopische Besetzung des Grundzustands?
@Nick: Für ein BEC: Ja, wenn Sie im kanonischen Ensemble arbeiten, finden Sie tatsächlich eine makroskopische Besetzung des niedrigsten Energiezustands, damit kein Problem. Im großkanonischen Ensemble gibt es einen Begriff − μ N ^ im Hamiltonian macht das das System instabil (für das ideale Bose-Gas), da Sie eine unendliche Menge an Teilchen in den Grundzustand bringen können und eine unendliche negative Energie erhalten.
aber müssen Sie nicht immer im großkanonischen Ensemble arbeiten und Ihr chemisches Potenzial "wählen". μ so, dass es die richtige Anzahl von Teilchen ergibt?
@ Nick: Nun, nein. I hängt vom (physikalischen) System ab. Haben N Atome in einem geschlossenen Kasten ist nicht dasselbe wie eine schwankende Anzahl von Bosonen aufgrund eines Teilchenreservoirs. In der thermodynamischen Grenze (wenn es gut definiert ist! und das ist hier im GCE nicht der Fall) würden beide die gleiche Antwort für das Standardproblem geben, aber das ist nicht unbedingt wahr. Zum Beispiel führt eine langreichweitige Wechselwirkung dazu, dass die verschiedenen Ensembles unterschiedliche Antworten geben (zum Beispiel Gravitationssysteme).

Ich weiß, dass es vor 2 Jahren gefragt wurde, aber ich möchte antworten, um jedem zu helfen, der dies findet.

So weit ich das verstehe:

Angenommen E = − ∞ Zustände sind nicht erlaubt, weil dann wahrscheinlich alle Teilchen in diesem System sein wollen, wenn sie damit in Kontakt kommen, da es das globale und lokale Minimum an Energie auf der ganzen Welt ist . Man könnte auch unendlich viel Energie daraus ziehen, und wir wissen, dass das thermodynamisch nicht in Ordnung ist. Somit wäre es instabil und unphysikalisch.

Wir nehmen also an, dass die minimale Energie, die ein Teilchen haben kann, ist E > − ∞ , und als solche muss es eine untere Grenze für die Energie geben. Ist ein Teilchen in diesem System gebunden, hat es quantisierte Zustände. Aber wenn es eine untere Grenze für die Energie gibt, die wir haben können, und die Energien quantisiert sind, bedeutet dies, dass es einen oder mehrere Zustände mit der niedrigsten Energie geben muss (oder in Richtung eines Kontinuums geht). E = E 0 > − ∞ . Hier ist also Ihr Minimum an Energie.

Dieses Problem wird auch durch die Dirac-Gleichung gelöst, die keine negativen Energien zulässt (wenn Sie negative Energien erhalten, dann haben Sie tatsächlich ein Antiteilchen mit positiver Energie).

  • Es wird beobachtet, dass der quantenmechanische Oszillator immer eine Grundzustandsenergie von *

h kreuze Omega mit 2

* und es ist notwendig, dass wir das Konzept von haben

Nullpunkt Energie

im Oszillator (Quant) und wenn das Quantensystem groß wird, dann wird es als die klassische Näherung des Oszillators angesehen.

Sie können sogar die Beispiele in der Streuungstheorie finden, die eine Existenz der Grundzustandsenergie zeigen.

Der Begriff der negativen Energie wird tatsächlich von Dirac für die Interpretation negativer Energiezustände gelöst.

Wenn Sie mit dem Drehimpuls von qm vertraut sind, stellen wir fest, dass der Spin nicht enthalten ist, und in den Dirac-Gleichungen kommt der Spin leicht, während der Spin eines Teilchens abgeleitet wird.

Dies ist der Vorteil der Dirac-Gleichung, die die lineare Gleichung ist, und die Schrödinger-Darstellung ist eine der einfachsten Methoden, um den physikalischen Zustand des Staates zu verstehen.

die Dirac-Gleichung löst das Problem vollständig, und in relativistischen qm werden der Spin und die physikalische Bedeutung der negativen Energiezustände erklärt. Bitte studieren Sie die relativistische Quantenmechanik sorgfältig. Tatsächlich wurde der Dirac erfolgreich gelöst, um die lineare Gleichung zu erhalten, um die vollständige Form der Quantenmechanik zu vervollständigen.

Ich kenne das Dirac-Problem und so weiter. Ich frage mich hauptsächlich, warum wir davon ausgehen können, dass wir einen Grundzustand haben. Für den Fall des harmonischen Oszillators ist der Beweis oben gegeben. Aber zum Beispiel für andere Systeme ist mir das nicht so klar :(.
Es ist also eher eine Art Existenzbegründung/Beweis, nach der ich suche.
Grundzustand eines quantenmechanischen Systems
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