Asymptotische Reihen in Feldtheorie und Quantenmechanik

Es ist bekannt, dass die Störungstheorie in der Quantenfeldtheorie zu einer (bestenfalls) asymptotischen Reihe führt. Dysons berühmtes Argument für die Quantenelektrodynamik ist eine gute Begründung dafür.

Was ist mit der nicht relativistischen Quantenmechanik - gibt es Beispiele, bei denen (sagen wir zeitunabhängig) die Störungstheorie zu einer konvergenten Reihe / einer divergenten Reihe / einer asymptotischen Reihe führt?

Nehmen wir zum Beispiel an, man würde den anharmonischen Oszillator mit einigen Störungen untersuchen μ X 4 . Die Störungstheorie für die Grundzustandsenergie würde zu einer Potenzreihe in führen μ . Ich glaube nicht, dass Dyson hier als Aushängeschild gilt μ , für ausreichend klein μ sollte nicht zu einer so dramatischen Änderung der Physik führen wie die Negation der elektrischen Ladung. Gibt es Beispiele dafür, dass Störungsreihen wie diese divergieren, konvergieren, asymptotisch sind?

Danke für jeden Beitrag.

QFT ist eine Teilmenge von QM, daher ist die Frage nicht besonders klar. Sie sollten Ihren Beitrag bearbeiten, um deutlich zu machen, nach welchen anderen Merkmalen Sie in einer solchen asymptotischen Reihe suchen und warum Ihr QFT-Beispiel nicht bereits in die Rechnung passt. Wenn Sie nach einer vollständigen Liste solcher Serien suchen, ist diese Frage für unser Format zu weit gefasst.
Bearbeitet: Ich interessiere mich für nichtrelativistische Quantentheorie (keine Felder)
Das ist kein besonders gut definierter Disjunktiv. Es gibt viele Situationen, in denen der relevante Rahmen QFT über einem nichtrelativistischen Hamiltonian ist, einschließlich insbesondere kondensierter Materie und kalter Quantengase. Also noch einmal - das QFT-Beispiel gilt immer noch.
Einverstanden, aber ich interessiere mich nicht für solche Situationen, da ich, wie Sie bereits betont haben, bereits weiß, was passiert, wenn QFT angewendet wird. Ich habe meine Frage bearbeitet, um ein einfaches, spezifisches und klares Beispiel dafür zu geben, wo in QM eine Störungsreihe auftreten könnte. Hoffentlich erklärt dies, was ich herausfinden möchte.
Dysons Argument gilt für die Quantenmechanik. Wenn der Term vierter Ordnung negativ ist, dann ist der Grundzustand instabil und es findet ein Tunneln statt. Das bedeutet, dass die Störungstheorie nicht konvergent sein kann.

Antworten (2)

Für bestimmte Systeme gibt es tatsächlich konvergente Störreihen. Im Fall des von einem Hamiltonian beschriebenen anharmonischen Oszillators

H = 1 2 P 2 + 1 2 M 2 X 2 + 1 4 G X 4

man kann eine konvergente Reihe konstruieren, die für alle konvergent ist G > 0 und willkürlicher harmonischer Term, der sowohl in den schwachen als auch in den starken Kopplungsgrenzen gültig ist.

In ähnlicher Weise ließ ein System von gekoppelten harmonischen Oszillatoren unter Verwendung eines Verfahrens, das die Aufspaltung des Hamilton-Operators auf eine bestimmte Weise und die Anwendung der Störungstheorie beinhaltete, eine konvergente Reihe zu.

Weiterhin existiert eine Verallgemeinerung einer konvergenten Störungsreihe für a Q -verformter anharmonischer Oszillator , also ein System basierend auf a Q -deformierte Heisenberg-Algebra, mit einem Hamilton-Operator, der auf Operatoren mit modifizierten Kommutierungsbeziehungen basiert.

In einem allgemeineren Rahmen wurde gezeigt, dass es für eine Klasse von hyperbolischen Differentialgleichungen unter bestimmten Bedingungen konvergente Störungsreihen für bestimmte Familien gibt. (Nebenbei wird dies verwendet, um zu zeigen, dass die Einstein-Feldgleichungen in einem bestimmten Schema eine divergente Störungsreihe im Gegensatz zu einer asymptotischen ergeben.)

Vielen Dank für eine ausführliche und vollständig referenzierte Antwort. Ich werde Ihre Links untersuchen und Sie wissen lassen, ob alles erledigt ist. :-)
Aber diese Reihen werden nicht durch Störungstheorie konstruiert, sondern auf eine fortgeschrittenere Weise!
@Arnold Neumaier Ich verstehe deinen Kommentar nicht ganz. Die Störungstheorie geht von einer formalen Potenzreihenentwicklung aus. Dann verwendet es Einschränkungen, um die Koeffizienten zu finden. Wenn es einen Satz von Koeffizienten gibt, die eine Konvergenzpotenzreihe ergeben. Dann muss das störungstheoretische Verfahren diese Koeffizienten liefern (da Potenzreihenentwicklung eindeutig ist). Können Sie mir sagen, inwiefern meine Argumentation fehlerhaft ist?
@BohanXu: Es gibt keinen Fehler, wenn die Reihe konvergent ist. Aber für den quartischen Oszillator ist der Konvergenzradius der Standardstörungsreihe Null. Der in der Antwort angegebene Link verwendet nicht das Standardverfahren und beantwortet daher nicht die ursprüngliche Frage, obwohl er nützlich ist.

Sie sollten sich Francisco Fernandez "Introduction to Perturbation Theory in Quantum Mechanics" ansehen , in Kapitel 6 stellt er fest, dass fast alle Störungsreihen divergent sind, einschließlich der Fanfavoriten Stark und Zeeman-Effekt, so dass eine konvergente Reihe eine Ausnahme darstellt. Das hat nichts mit den unendlichen Freiheitsgraden der QFT zu tun, sondern ist nur eine Tatsache der QM.

Lassen Sie mich als Ergänzung noch anmerken, dass, obwohl fast alle Störungsreihen tatsächlich divergent sind, das Problem nur in QFT auftritt (oder auftrat). Das liegt daran, dass wir in endlichen Freiheitsgraden QM den Hamilton-Operator rigoros definieren können, zum Beispiel den Zeeman-Effekt, wir können nur nicht genau die Eigenwerte berechnen.

In den frühen Tagen der QFT wusste man nur, wie man freie Felder definiert, es gab keine zufriedenstellende Definition einer interagierenden QFT. Für einige Zeit bestand die Hoffnung, QFT als Ergebnisse von Störungsreihen zu definieren. Aus diesem Grund war Dysons Argument bedeutsam, es zeigt, dass man eine wechselwirkende QFT nicht über Störungsexpansion definieren kann.

(Die letzten paar Absätze sind meine Extrapolation, warum wir neugierig auf Konvergenz in QM sind, und deshalb hielt ich es für angebracht, sie aufzunehmen. Ich werde sie gerne löschen, wenn die Leute finden, dass sie nicht zu den Fragen als solchen gehören )

Eine interessante Gedankensammlung: Danke fürs Schreiben und für den Hinweis.
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