Wann kann ich den Satz von Wick anwenden?

Wicks Theorem bedeutet, dass für Fermionen eine Vierpunkt-Korrelationsfunktion (zum Beispiel) in Form von Zweipunkt-Korrelationsfunktionen geschrieben werden kann:

⟨ B l † B l B M † B M ⟩ = ⟨ B l † B l ⟩ ⟨ B M † B M ⟩ − ⟨ B l † B M † ⟩ ⟨ B l B M ⟩ + ⟨ B l † B M ⟩ ⟨ B l B M † ⟩

Meine Frage ist, wann kann ich das verwenden? Insbesondere interessiere ich mich für die Vielkörper-Störungstheorie bei endlicher Temperatur und die Berechnung der Korrelationsfunktionen aus so etwas wie

Z [ F ¯ , F ] = ∫ D ( ϕ ¯ , ϕ ) e − S 0 + S ich N T + ∫ 0 β D τ ∑ l ( F ¯ l B l + B l † F l ) ,

Wo S 0 ist der ungestörte Teil des Systems, S ich N T ist die Störung, und der letzte Teil der Exponentialfunktion ermöglicht es uns, die Korrelationsfunktionen über funktionale Ableitungen zu berechnen.

Gibt es Umstände, unter denen ich die Vier-Punkte-Korrelationsfunktion selbst berechnen müsste? Oder kann ich immer den Satz von Wick verwenden?

Antworten (2)

Sie können Wicks Theorem immer verwenden, wenn Sie Erwartungswerte in Bezug auf Freifeldzustände beschreiben (dh nicht interagierend, wie ein einzelner Slater-Determinantenzustand). Zum Beispiel nehmen Sie in Hubbard-Stratonovich oder (allgemein) Variational Mean-Field Theory (wie Bogliubov-deGennes) die Wechselwirkungsterme und entkoppeln sie in ein Modell, das in Fermion-Operatoren quadratisch ist, aber vor dem Hintergrund klassischer Felder .

In einem pfadintegralen Sinne sage ich also, dass der Satz von Wick eine Aussage über Erwartungswerte in Bezug auf Gaußsche Verteilungen ist. Da wir im Allgemeinen in nichts anderem als Gaußschen Verteilungen rechnen können, ist dies praktisch. Betrachten Sie die Aktion

S = A X 2 + B X 4

und wir wollen integrieren e − S gesamt X . Nun, das ist eindeutig der Erwartungswert von e − B X 4 = 1 − B X X X X + Ö ( B 2 ) in Bezug auf eine Gaußsche Verteilung, und Wicks Trick sagt mir, dass (seit X ist nur ein Skalar, es gibt keine Antisymmetrie ...):

⟨ X X X X ⟩ = ⟨ X X ⟩ + ⟨ X X ⟩ + ⟨ X X ⟩
also zu jeder bestellung rein B wir können das Integral berechnen und müssen es nur wissen ⟨ X X ⟩ und mache ein bisschen Kombinatorik.

Die Verallgemeinerung auf Operatoren folgt im Grunde der gleichen Logik und ist überraschend einfach (... für Pfadintegrale! Standardbücher stellen Wicks Theorem immer in einer Operatorformulierung dar, die vermutlich nicht einmal bei endlichen Temperaturen Sinn macht und ich hasse es.)

Danke @wsc, also als Beispiel eine XX-Spin-Kette, die in Bezug auf spinlose Fermionen geschrieben wurde (dh nach einer Jordan-Wigner-Transformation) H 1 = J ∑ l ( B l † B l + 1 + B l + 1 † B l ) ist ein Beispiel für einen nicht interagierenden Hamiltonoperator, während eine XXZ-Spinkette interagiert, weil der zusätzliche Term H 1 + J z ∑ l [ ( 1 − 2 B l † B l ) ( 1 − 2 B l + 1 † B l + 1 ) ] , bedeutet, dass es sich nicht um ein freies Fermion-Modell handelt und der Satz von Wick daher nicht anwendbar ist. Aber wenn die J z Term wurden als Störung behandelt (d.h. es ist S ich N T ), könnte der Satz von Wick noch verwendet werden. Ist das korrekt?
Wenn das stimmt, ist es auch richtig, dass es nicht nötig wäre, so etwas zu berechnen ⟨ B l † B l B M † B M ⟩ für die XX-Spin-Kette mit der J z Term als Störung, da ich ihn einfach aus den beiden Punktkorrelationsfunktionen berechnen kann? (Während ich für eine XXZ-Spin-Kette unter der Annahme, dass ich sie in Pfadintegralform lösen kann, dies nicht tun könnte und daher die vollständige Berechnung erhalte ⟨ B l † B l B M † B M ⟩ ist notwendig).
All diese Aussagen sind richtig. Übrigens weiß ich nicht, ob Ihr eigentliches Problem bei Spinketten und JW-Transformationen liegt, aber die Korrelationsfunktionen in der Fermion-Sprache werden viel exotischere N-Punkt-Funktionen sein, und die Technologie zu ihrer Berechnung ist sehr gut beschrieben (eigentlich viele Dinge sind gut beschrieben!) in Tsveliks Buch.
Danke @wsc Was meinst du mit "die Korrelationsfunktionen in der Fermion-Sprache werden viel exotischere N-Punkt-Funktionen sein"? Ich habe Tsveliks Buch, wenn Sie Abschnittstitel haben.
Ich habe es eigentlich nicht bei mir :( Es sollte leicht zu finden sein - mein Punkt ist nur, dass Spins auf "String-Operatoren" abgebildet werden. Das heißt, wenn Sie rechnen möchten ⟨ σ 0 z σ N z ⟩ Sie haben ein Produkt von ∼ N Fermionen nehmen den Erwartungswert an, und das wollen Sie auch N → ∞ Grenze. Der Satz von Wick funktioniert natürlich immer noch, und Sie brauchen immer noch nur 2-Punkt-Funktionen, aber die Kombinatorik erfordert die Auswertung von Toeplitz-Determinanten.
Ah ja, ich verstehe was du meinst. Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Im Betreiber 1 Formulierung ist die wesentliche Annahme, die den Standardsatz von Wick zum Tragen bringt, die Annahme, dass die Kontraktionen im Zentrum der relevanten Operatoralgebra stehen. Dies wird oft salopp gesagt, wie die Kontraktionen sein sollten C -Zahlen , was bedeutet, dass die Kontraktionen mit allen relevanten Operatoren (super)kommutieren sollten.

1 Eine Standardlehre in der Physik besagt, dass der Operatorformalismus dem Pfadintegralformalismus entspricht, obwohl die tatsächliche Abbildung zwischen den beiden Formalismen ziemlich subtil sein kann.

Danke für deine Antwort @Qmechanic, aber ich verstehe nicht wirklich. Meinen Sie mit Operatorformulierung das Heisenberg-Bild? Ich dachte, dass die Formulierung des Pfadintegrals davon getrennt wäre? Im Fall meiner obigen Frage Z [ F ¯ , F ] kann in Grassmann-Zahlen anstatt in c-Zahlen umgeschrieben werden. Meine Frage, wann Wicks Theorem verwendet werden kann, ergibt sich aus der Frage, ob es beispielsweise Einschränkungen gibt, was S 0 oder S ich N T sein kann, und ob es Fälle gibt, in denen ich die Vier-Punkte-Korrelationsfunktion selbst berechnen muss, anstatt den Satz von Wick zu verwenden, um sie zu finden.
Das ist nicht wahr. Das Wick-Theorem funktioniert, wenn die Kontraktionen reine Bosonen sind, weil Sie die Bosonen auf eine Konfiguration fixieren und das Pfadintegral über die Fermionen machen. Die bosonischen Felder sind keine c-Zahlen, sobald Sie über sie integrieren.
@Ron Maimon: Ja, die Kontraktionen können nicht mit allen Sektoren der Theorie (super) pendeln.
@Qmechanic: natürlich sind die Formalismen äquivalent! Aber das Wick-Theorem lässt sich am besten in Pfadintegralen ausdrücken, weil es in der Operatorform absurd kompliziert ist. Dies ist einer der Gründe. Fermionen gehen immer nach dem Wick-Theorem, weil Sie keine 4-Fermi-Wechselwirkungen haben. In 2d tun sie das nicht, es sei denn, Sie führen neue bosonische Felder ein, um eine lokale Wechselwirkung zu vermitteln.
Der Vorteil der Operatorformulierung besteht darin, dass das Wicksche Theorem in eine präzise, ​​in sich geschlossene mathematische Sprache umgeformt werden kann, deren Anwendungsbereich nicht auf ein bestimmtes Modell beschränkt ist.
Wann kann ich den Satz von Wick anwenden?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v