Wie schreibt man den Geschwindigkeitsoperator eines gegebenen Hamiltonoperators in der Quantenmechanik?

Lassen Sie uns ein 2D-Gittermodell mit drei Stellen in einer Einheitszelle haben (im Grunde ein 2D-Kagome-Gitter). Im Fourier-Raum wird der Hamilton-Operator geschrieben als

H = ∑ k X , k j [ A † B † C † ] [ H 11 H 12 H 13 H 21 H 22 H 23 H 31 H 32 H 33 ] [ A B C ] ≡ Ψ † H ( k X , k j ) Ψ
Hier A , B , C sind Operatoren von Teilchen an 3 Stellen der Einheitszelle.

Frage:

Wie schreibe ich den Geschwindigkeitsoperator für A , B , C Partikel in x-Richtung und y-Richtung getrennt.

Mein Versuch:

Verwendung des Ehrenfest-Theorems für Teilchen A , wir haben:

∂ T A † A = 1 ich ℏ [ A † A , H ]

(um es nicht zu einer Einkaufsfrage zu machen:) Ich denke, das Ehrenfest-Theorem ist der richtige Weg, um Geschwindigkeitsoperatoren zu schreiben. Aber ich sehe nicht, wie genau man Geschwindigkeit von Teilchen in x- und y-Richtung trennen kann bzw k X , k j Richtungen mit diesem Theorem. Wie definiert die Quantenmechanik Geschwindigkeit in verschiedenen Richtungen?

Haben Sie versucht, den Kommutator von H und X / Y zu berücksichtigen?
@JahanClaes ja, aber wie definiere ich hier X- und Y-Operatoren? (Entschuldigung, wenn das eine sehr dumme Frage ist)
Ihr Fragentitel muss etwas spezifischer sein.

Antworten (1)

In der ersten Quantisierungsdarstellung wird der Geschwindigkeitsoperator mit erhalten

X ˙ ^ = 1 ich ℏ [ X ^ , H ^ ] − ,
die den Operator der Ableitung oder die Ableitung des Operators definiert , je nachdem, ob Sie im Schrödinger- oder im Heisenberg-Bild arbeiten.

Bei der zweiten Quantisierung wechselt man zu den Operatoren, die die übliche Vorschrift verwenden – Berechnung des Matrixelements zwischen den Feldoperatoren ψ † ( X ) , ψ ( X ) .

Für transkierte Hamiltonoperatoren, wie es in der Frage der Fall zu sein scheint, interessiert man sich normalerweise für den aktuellen Operator , der unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung erhalten wird, als Ableitung des Ladungsoperators im interessierenden Bereich, z

∂ T A † A = 1 ich ℏ [ A † A , H ^ ] − .
Ein Vorbehalt ist, dass man beim Wechseln der Anzeige einige Herausforderungen haben kann, zB wenn man versucht, die Kubo-Formel anzuwenden (machbar, aber nicht einfach).

Wie schreibt man den Geschwindigkeitsoperator eines gegebenen Hamiltonoperators in der Quantenmechanik?
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