Jordan-Wigner-Transformation vs. Bosonisierung

Ich vertrete eine andere Haltung als Qmechanic: Bosonisierung ist „einfach“ die Kontinuumsversion der Jordan-Wigner-Transformation . Qmechanic hat natürlich Recht, dass Feldtheorien viel subtiler sind als Gittertheorien. Die Tatsache, dass JW so einfach ist, bedeutet jedoch nicht, dass es nicht relevant ist, wenn man an Bosonisierung denkt, im Gegenteil: Es macht die Bosonisierung viel einfacher zu verfolgen, wie zum Beispiel von Fisher und Glazman diskutiert .

Um meine Aussage zu konkretisieren, würde ich sagen, dass das folgende Diagramm pendelt :

$$\begin{array}{ccc} \textrm{fermionic chain} & \xrightarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & \textrm{spin chain} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \textrm{bosonic field theory} \end{array}$$

(wobei im Spin-Fall die Kontinuumsgrenze unter Verwendung von spinkohärenten Zustandspfadintegralen genommen würde)

Natürlich könnte man am Ende unterschiedliche Beschreibungen der Feldtheorie haben, aber sie würden dieselbe Feldtheorie beschreiben. Genauer gesagt gibt es eine lokale Abbildung, die sich aufeinander bezieht.

Lassen Sie uns als Beispiel stattdessen von einer Spin-Kette ausgehen. Nehmen Sie insbesondere die Gapless Spin-$\frac{1}{2}$Heisenberg-Hamiltonian$H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1}$. Dann:

$$\begin{array}{ccc} \textrm{interacting fermions} & \xleftarrow{\textrm{Jordan-Wigner}} & H = \sum \mathbf S_n \mathbf{\cdot S}_{n+1} \\ \downarrow \small \textrm{continuum} & \circlearrowleft & \downarrow \small \textrm{continuum} \\ \textrm{interacting fermionic field theory} & \xrightarrow{\textrm{bosonization}} & \begin{array}{c} \textrm{Wess-Zumino-Witten }SU(2)_1 \\ || \\ \textrm{Luttinger liquid $K=\frac{1}{2}$ } \end{array} \end{array}$$ (wobei die LL-Beschreibung aus der Bosonisierung und die WZW-Beschreibung aus der Kontinuumsgrenze des Spinmodells stammt) und beide resultierenden Feldtheorien nach einer lokalen Reidentifikation von Operatoren tatsächlich äquivalent sind. Insbesondere haben sie die gleichen Skalierungsmaße für lokale Betreiber, z. B. das kleinste Skalierungsmaß für WZW $SU(N)_1$ist $\frac{N-1}{N} = \frac{1}{2}$und für die LL ist $\frac{1}{4K} = \frac{1}{2}$.

I.1) Jordan-Wigner (JW) Transformation . Gegeben sei eine bosonische Heisenberg-Algebra der kanonischen Kommutierungsrelationen (CCR)

$$[a_i,a_j^{\dagger}] ~=~\delta_{ij} {\bf 1}, \qquad [a_i,a_j] ~=~0, \qquad [a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}] ~=~0, \qquad i,j~\in~\{1,\ldots, N\},\tag{1}$$

$$n_i~\equiv~a^{\dagger}_i a_i \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)}. \tag{2}$$

Dann

$$[n_i, a_j]~=~-\delta_{ij}a_j, \qquad [n_i, a^{\dagger}_j]~=~\delta_{ij}a^{\dagger}_j,\tag{3}$$ $$\{(-1)^{n_i}, a_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\{(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_i\}_+ ~=~ 0, \qquad\qquad\text{(no sum over $i$)};\tag{4}$$

$$[(-1)^{n_i}, a_j] ~=~ 0, \qquad [(-1)^{n_i}, a^{\dagger}_j] ~=~ 0, \qquad\text{if}\qquad i~\neq ~j .\tag{5}$$

I.2) Die JW-Transformation ist definiert als

$$c_k ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k, \qquad c_k^{\dagger} ~\equiv~ (-1)^{\sum_{i=1}^{k-1}n_i} a_k^{\dagger}, \qquad n_k~=~c^{\dagger}_k c_k. \tag{6}$$

Dann haben wir eine fermionische Heisenberg-Algebra der kanonischen Antikommutierungsbeziehungen (CAR)

$$\{c_k,c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~\delta_{k\ell} {\bf 1}, \qquad \{c_k,c_{\ell}\}_+ ~=~0, \qquad \{c_k^{\dagger},c_{\ell}^{\dagger}\}_+ ~=~0, \qquad k,\ell~\in~\{1,\ldots, N\}.\tag{7}$$

II.1) Fermionisierung . Hier werden wir nur den einfachsten Prototyp diskutieren. Es sei ein chirales/holomorphes Boson gegeben $\varphi(z)$in euklidischer 2D -CFT mit OPE

$${\cal R} \varphi(z) \varphi(w)~\sim~-{\bf 1}~{\rm Ln}(z-w),\qquad z,w~\in~\mathbb{C}; \tag{8}$$

mit primärem Impulsstrom

$$j ~\equiv~i\partial \varphi ;\tag{9}$$

und mit chiralem Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor

$$T~\equiv~ \frac{1}{2} :j^2:~ .\tag{10}$$ Die bosonischen Gleichradius-Kommutator-Beziehungen lauten

$$[\varphi(z),\varphi(w)]~=~-i\pi {\bf 1}~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{11}$$

$$[j(z),\varphi(w)]~=~2\pi {\bf 1}~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{12}$$

II.2) Die chiralen/holomorphen Fermionen werden über den Knotenoperator definiert

$$\psi_{\pm} ~\equiv~ :e^{\pm\varphi}:~;\tag{13}$$ mit Nummer aktuell

$$j~\equiv~\pm :\psi_{\pm}\psi_{\mp}:~;\tag{14}$$

und mit chiralem SEM-Tensor

$$T~\equiv~\frac{1}{2}:\psi_{\pm} \stackrel{\leftrightarrow}{\partial} \psi_{\mp}:~.\tag{15}$$

Die OPEs werden

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\mp}(-z)~=~ \frac{\bf 1}{2z} ~\pm~ j(0) ~+~2z ~T(0) ~+~{\cal O}(z^2), \tag{16}$$

$${\cal R} \psi_{\pm}(z)\psi_{\pm}(-z)~=~2z ~{\bf 1} ~+~{\cal O}(z^2) .\tag{17}$$ Die fermionischen Gleichradius-Antikommutator-Beziehungen lauten

$$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\mp}(w)\}_+~=~ 2\pi i{\bf 1} ~\delta(\arg z- \arg w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|, \tag{18}$$ $$\{ \psi_{\pm}(z),\psi_{\pm}(w)\}_+ ~=~0 \qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w|.\tag{19}$$

Zum$\arg z\neq \arg w$, die Gl. (18/19) folgen direkt aus Gl. (11), (13) und die verkürzte BCH-Formel :

$$e^Ae^B~=~e^{C}e^Be^A, \qquad C~\equiv[A,B], \qquad \text{if}\qquad [A,C]~=~0~=~[B,C]. \tag{20}$$

Die Delta-Funktion in Gl. (18) folgt aus dem einfachen Pol in Gl. (16).

Die bosonischen Gleichradius-Kommutator-Beziehungen lauten

$$[\varphi(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm \pi ~{\rm sgn}(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| ,\tag{21}$$ $$[j(z),\psi_{\pm}(w)]~=~\pm 2\pi i ~\delta(\arg z- \arg w)~\psi_{\pm}(w)\qquad\text{for}\qquad |z|~=~|w| .\tag{22}$$

III) Wir interpretieren die Hauptfrage von OP wie folgt.

Kann die Fermionisation (18/19) mit$(j, \psi_+, \psi_-)$über die JW-Transformation (7) mit bewiesen werden$(n_k, c_k, c^{\dagger}_k)$?

Antwort: Es gibt eindeutig eine Analogie zwischen dem diskreten und dem kontinuierlichen Modell. Die JW-Transformation (7) ist jedoch eine Trivialität, während die Fermionisierung (18/19) ein nicht triviales Ergebnis in der Operator-bewerteten Verteilungstheorie ist. Es lohnt sich nicht, in einem ansonsten anspruchsvollen Beweis einer Trivialität nachzujagen.

IV) Beachten Sie, dass ein einzelnes chirales/holomorphes Boson nur eine Prototypeingabe für die Fermionisierung ist (18/19). Es kann auf die 1+1D Minkowski -Ebene wickrotiert werden. Es gibt auch eine antichirale/antiholomorphe Version. Auch gibt es je nach Topologie/Randbedingungen unterschiedliche Ausführungen. Bei mehreren chiralen Bosonen benötigt man Co-Cycle-Vorfaktoren, oft basierend auf der JW/ Klein - Transformation.

V) Es gibt per se kein höherdimensionales Analogon der Fermionisierung, obwohl z. B. die Superstring-Theorie die bekanntermaßen zerlegt$10=5\times 2$dimensionalen euklidischen Zielraum in ein Produkt von 5 2D-Ebenen und wendet die Fermionisierung in jeder 2D-Ebene an.

Verweise:

1. S. Mandelstam, Soliton-Operatoren für die quantisierte Sinus-Gordon-Gleichung, Phys. Rev. D 11 (1975) 3026 .

2. J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 2, 1998; p. 11-12.