Noetherströme in QFT

Ich versuche, mein Wissen über den Satz von Noether in QFT zu organisieren. Es gibt mehrere Fragen, auf die ich gerne eine Antwort hätte.

In der klassischen Feldtheorie besagt der Satz von Noether, dass es für jede kontinuierliche globale Symmetrie der Aktion einen entsprechenden Strom (Noether-Strom) gibt. j μ , die (klassischerweise) die Erhaltungsbedingung erfüllt:

∂ μ j μ ≃ 0 ,

wo ich die verwende ≃ Zeichen, dass die Gleichung nur auf der Schale gilt, dh auf Feldkonfigurationen, die den klassischen Bewegungsgleichungen unterliegen.

Erhaltungsströme führen schließlich zu Erhaltungsladungen, die durch gegeben sind

Q ( t ) = ∫ d n − 1 x j 0 ( x , t ) ≃ konst .

  1. Ist es richtig, dass diese Ladungen eine Algebra (mit einer durch die Poisson-Klammer gegebenen algebraischen Lie-Klammer) bilden, die genau die Lie-Algebra der Symmetriegruppe ist?

  2. Vektorfelder auf der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit haben auch eine Lie-Algebra-Struktur, die durch die Lie-Ableitung gegeben ist. Ich habe einige Berechnungen angestellt und es stellte sich heraus, dass konservierte Vektorfelder algebraisch nahe beieinander liegen und daher eine Unteralgebra bilden. Meine Frage ist: Bilden Noetherströme einer beliebigen Feldtheorie durch die Lie-Ableitung auch eine Subalgebra, und wenn ja, hat diese Subalgebra irgendeine physikalische Bedeutung?

Trotz der Fragen ist dieser Teil relativ klar. Jetzt kommt die Quantenmagie. Im Pfadintegralformalismus ist die Ward-Identität ein formales Analogon des klassischen Noether-Theorems.

Noetherströme gelten als sehr wichtige Bestandteile der Quantentheorie, eine Art Stellvertreter von Symmetrien im physikalischen System. Ich habe das nie ganz verstanden. Beispielsweise sollten sie im Quantensinn wohldefiniert sein und unterliegen daher der Normalordnung. Dies führt manchmal zur Modifikation (!) der Symmetriealgebra selbst, wobei das beste Beispiel die Witt-Algebra der konformen Symmetrien und ihr Quantengegenstück, die Virasoro-Algebra der normalgeordneten konformen Ströme, ist.

  1. Warum also sind Strömungen grundlegender als geometrische Symmetrien klassischer Konfigurationen selbst? Warum müssen sie in der Quantentheorie überhaupt wohldefiniert sein, wo die einzigen beobachtbaren Größen Korrelationen sind?

PS Ich habe viel Literatur studiert, und alle Erklärungen erschienen mir unklar und spekulativ. Ich suche also keine Referenz, sondern eher eine Art Paraphrasierung, die die Sache klarer machen würde.

@JamalS, ich behalte das Stringtheorie-Tag bei, weil ich erwarte, dass Stringtheoretiker viel über (in meiner Frage erwähnte) Witt/Virasoro-Algebren wissen und daher erweiterte Antworten geben.

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v5):

  1. Wenn eine Aktion funktioniert S ist invariant unter einer Lie-Algebra L von Symmetrien bilden die entsprechenden Noether-Ströme und -Ladungen nicht immer eine Darstellung der Lie-Algebra L . Es könnte (klassische) Anomalien geben. In manchen Fällen treten solche (klassischen) Anomalien als zentrale Ausläufer auf, vgl. zB Art.-Nr. 1-3 und diesen Phys.SE-Beitrag.

  2. Die negative Schlussfolgerung für Punkt 1 gilt sogar für Hamilton-Formulierungen, in denen eine Poisson-Klammer definiert ist.

  3. Die 3. Frage erscheint wie ein Analogon der fehlerhaften Logik, die verlangt, dass eine Quantentheorie in einer klassischen Sprache erklärt wird und nicht umgekehrt.

Verweise:

  1. F. Toppan, Über Anomalien in klassischen dynamischen Systemen, J. Nonlin. Mathematik. Phys. 8 (2001) 518, arXiv:math-ph/0105051 .

  2. Tomas Brauner , Spontaneous Symmetry Breaking and Nambu-Goldstone Bosons in Quantum Many-Body Systems, Symmetry 2 (2010) 609, arXiv:1001.5212 ; Seite 6-7.

  3. JD Brown und M. Henneaux, Zentralladungen in der kanonischen Realisierung asymptotischer Symmetrien: ein Beispiel aus der dreidimensionalen Gravitation, Commun. Mathematik. Phys. 104 (1986) 207 .

Die Quantentheorie erfordert in der Pfadintegralformulierung klassische Freiheitsgrade und klassisches Handeln.
Auch geometrische Symmetrien (wie winkeltreue Transformationen) erfordern überhaupt keine Freiheitsgrade. Sie sind ebenso klassisch wie quantenhaft. Aber in der klassischen Theorie respektieren wir sie, anstatt die Algebra mit zentralen Ladungen zu modifizieren.
Weitere Referenzen: 4. V. Iyer & RM Wald, arXiv:gr-qc/9403028 . 5. G. Compere & A. Fiorucci, arXiv:1801.07064 .
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