Ja. Sowohl universelle Abdeckungen als auch zentrale Erweiterungen, die während der Quantisierung entstehen, beruhen auf demselben grundlegenden Konzept:

Projektive Darstellungen

Wenn$\mathcal{H}$unser Hilbert-Zustandsraum ist, dann sind unterschiedliche physikalische Zustände keine Vektoren $\psi\in\mathcal{H}$, aber strahlen , da die Multiplikation mit einer komplexen Zahl die durch die Regel gegebenen Erwartungswerte nicht ändert

$$\langle A\rangle_\psi = \frac{\langle \psi \vert A \vert \psi \rangle}{\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ noch die Übergangswahrscheinlichkeiten $$P(\lvert \psi \rangle \to \lvert \phi \rangle) = \frac{\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle\rvert^2}{\langle \phi \vert \phi \rangle\langle \psi \vert \psi \rangle}$$ Der richtige zu betrachtende Raum, in dem jedes Element des Raums tatsächlich ein bestimmter physikalischer Zustand ist, ist der projektive Hilbert-Raum $$\mathrm{P}\mathcal{H} := \mathcal{H} /\sim$$ $$\lvert \psi \rangle \sim \lvert \phi \rangle :\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb{C}: \lvert \psi \rangle = c\lvert\phi\rangle$$ Das ist nur eine schicke Art zu schreiben, dass jeder komplexe Strahl auf einen Punkt geschrumpft ist. Nach dem Satz von Wigner sollte jede Symmetrie eine, nicht unbedingt eindeutige, einheitliche Darstellung haben$\rho : G \to \mathrm{U}(\mathcal{H})$. Da es zu einer wohldefinierten Strahltransformation absteigen muss , ist die Wirkung der Symmetrie durch einen Gruppenhomomorphismus in die projektive Einheitsgruppe gegeben $G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$, die in einer exakten Reihenfolge sitzt $$1 \to \mathrm{U}(1) \to \mathrm{U}(\mathcal{H}) \to \mathrm{PU}(\mathcal{H}) \to 1$$ wo$\mathrm{U}(1)$stellt die "Phasengruppe" dar, die beim Übergang in den projektiven Raum aufgeteilt wird. Es ist bereits wichtig zu beachten, dass dies bedeutet$\mathrm{U}(\mathcal{H})$ist eine zentrale Erweiterung von$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$durch$\mathrm{U}(1)$.

Alle möglichen quantenerlaubten Darstellungen einer Symmetriegruppe zu klassifizieren$G$, müssen wir die zulässigen Homomorphismen der Lie-Gruppe verstehen$\sigma : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Da es schöner ist, mit linearen Darstellungen zu arbeiten als mit diesen seltsamen projektiven Dingen, werden wir uns das ansehen

Klassifizieren projektiver Darstellungen durch einheitliche lineare Darstellungen

Für alle$g\in G$, wählen Sie einen Vertreter$\Sigma(g)\in\mathrm{U}(\mathcal{H})$für jeden$\sigma(g)\in\mathrm{PU}(\mathcal{H})$. Diese Wahl ist höchst nicht eindeutig und im Wesentlichen dafür verantwortlich, wie die zentrale Erweiterung erscheint. Nun, da für alle$g,h\in G$wir haben$\sigma(g)\sigma(h) = \sigma(gh)$, müssen die Wahlen der Vertreter erfüllen

$$\Sigma(g)\Sigma(h) = C(g,h)\Sigma(gh)$$ für einige$C : G\times G\to\mathrm{U}(1)$. Assoziativität anwenden auf$\Sigma(g)\Sigma(h)\Sigma(k)$gibt die Konsistenzanforderung an $$C(g,hk)C(h,k) = C(g,h)C(gh,k)\tag{1}$$ die auch als Cocycle-Identität bezeichnet wird . Für jede andere Wahl$\Sigma'$, Wir müssen haben $$\Sigma'(g) = f(g)\Sigma(g)$$ für einige$f : G \to \mathrm{U}(1)$.$\Sigma'$hat eine zugehörige$C'$, und so erhalten wir $$C'(g,h)\Sigma'(gh) = \Sigma'(g)\Sigma'(h) = f(g)f(h)C(g,h)f(gh)^{-1}\Sigma'(gh)$$ was die Konsistenzanforderung ergibt $$C'(g,h)f(gh) = f(g)f(h)C(g,h)\tag{2}$$ Daher werden projektive Darstellungen klassifiziert, die die Wahl von einheitlichen Repräsentanten geben$\Sigma$, aber diejenigen, die verwandt sind durch$(2)$dieselbe projektive Darstellung geben. Formal das Set $$H^2(G,\mathrm{U}(1)) := \{C : G\times G \to \mathrm{U}(1)\mid C \text{ fulfills } (1)\} / \sim$$ $$C \sim C' :\Leftrightarrow \exists f : (2) \text{ holds }$$ klassifiziert die projektiven Darstellungen von$G$. Wir wollen es verwenden, um eine einheitliche Darstellung von etwas zu konstruieren, das die projektive Darstellung klassifiziert:

Definiere das semidirekte Produkt $G_C := G \ltimes_C \mathrm{U}(1)$für jeden Vertreter$C$eines Elements in$H^2(G,\mathrm{U}(1)$durch Schenkung des Cartesion-Produkts$G \times \mathrm{U}(1)$mit der Multiplikation

$$(g,\alpha)\cdot(h,\beta) := (gh,\alpha\beta C(g,h))$$ Man kann überprüfen, ob es sich um eine zentrale Erweiterung handelt, dh das Bild von$\mathrm{U}(1)\to G \ltimes_C\mathrm{U}(1)$liegt im Zentrum von$G_C$, und $$1 \to \mathrm{U}(1) \to G_C \to G \to 1$$ ist genau. Für jede projektive Darstellung$\sigma$, beheben$\Sigma,C$und definieren Sie die lineare Darstellung $$\sigma_C : G_C \to \mathrm{U}(\mathcal{H}), (g,\alpha) \mapsto \alpha\Sigma(g)$$ Umgekehrt jede einheitliche Darstellung$\rho$von einigen$G_C$gibt ein paar$\Sigma,C$durch$\Sigma(g) = \alpha^{-1}\rho(g,\alpha)$.

Daher stehen projektive Darstellungen in Bijektion zu linearen Darstellungen zentraler Erweiterungen.

Auf der Ebene der Lie-Algebren haben wir$\mathfrak{u}(\mathcal{H}) = \mathfrak{pu}(\mathcal{H})\oplus\mathbb{R}$, wobei das Basiselement$\mathrm{i}$von$\mathbb{R}$erzeugt Vielfache der Identität$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mathrm{Id}$. Wir lassen die weg$\mathrm{Id}$Im Folgenden wird immer dann, wenn eine reelle Zahl zu einem Element der Lie-Algebra hinzugefügt wird, impliziert, dass sie damit multipliziert wird.

Wenn wir die obigen Argumente für die Lie-Algebren wiederholen, erhalten wir die projektive Darstellung$\sigma : G \to \mathrm{PU}(\mathcal{H})$induziert eine Darstellung der Lie-Algebra$\phi : \mathfrak{g}\to\mathfrak{pu}(\mathcal{H})$. Eine Auswahl von Vertretern$\Phi$in$\mathfrak{u}(H)$klassifiziert eine solche projektive Darstellung zusammen mit einem Element$\theta$in

$$H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R}) := \{\theta : \mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathbb{R}\mid \text{ fulfills } (1') \text{ and } \theta(u,v) = -\theta(v,u)\} / \sim$$ $$\theta \sim \theta' :\Leftrightarrow \exists (b : \mathfrak{g}\to\mathbb{R}) :\theta'(u,v) = \theta(u,v) + b([u,v])$$ mit Konsistenzbedingung $$\theta([u,v],w) + \theta ([w,u],v) + \theta([v,w],u) = 0 \tag{1'}$$ das$\theta$respektiert im Wesentlichen die Jacobi-Identität.

Also eine projektive Darstellung von$\mathfrak{g}$wird klassifiziert nach$\Phi$zusammen mit A$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$. Dabei wird die zentrale Erweiterung durch definiert$\mathfrak{g}_\theta := \mathfrak{g}\oplus\mathbb{R}$mit Lie-Klammer

$$[u\oplus y,v\oplus z] = [u,v]\oplus\theta(u,v)$$ und wir bekommen eine lineare Darstellung davon hinein$\mathfrak{u}(\mathcal{H})$durch $$\phi_\theta(u\oplus z) := \Phi(u) + a$$

Auch hier erhalten wir eine Bijektion zwischen projektiven Darstellungen von$\mathfrak{g}$und die seiner zentralen Erweiterungen$\mathfrak{g}_\theta$.

Universalabdeckungen, Zentralladungen

Wir sind schließlich in der Lage zu entscheiden, welche Darstellungen von$G$wir müssen quantenhaft zulassen. Wir unterscheiden drei Fälle:

1. Es gibt keine nicht-trivialen zentralen Erweiterungen von beiden$\mathfrak{g}$oder$G$. In diesem Fall sind alle projektiven Darstellungen von$G$sind bereits durch die linearen Darstellungen von gegeben$G$. Dies gilt z$\mathrm{SU}(n)$.

2. Es gibt keine nicht-trivialen zentralen Erweiterungen von$\mathfrak{g}$, aber es gibt diskrete zentrale Erweiterungen von$G$durch$\mathbb{Z}_n$Anstatt von$\mathrm{U}(1)$. Diese steigen offensichtlich auch auf projektive Darstellungen von ab$G$. Zentrale Erweiterungen von Lie-Gruppen durch diskrete Gruppen sind nur Abdeckungsgruppen von ihnen, weil die universelle Abdeckung$\overline{G}$gibt die Gruppe$G$als Quotient$\overline{G}/\Gamma$durch eine diskrete zentrale Untergruppe$\Gamma$isomorph zur Grundgruppe der überdeckten Gruppe. Damit erhalten wir, dass alle projektiven Darstellungen von$G$sind durch lineare Darstellungen der Universalabdeckung gegeben. Es fallen keine Zentralgebühren an. Dies gilt z$\mathrm{SO}(n)$.

3. Es gibt nicht-triviale zentrale Erweiterungen von$\mathfrak{g}$, und folglich auch von$G$. Wenn das Element$\theta\in H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$nicht Null ist, gibt es eine zentrale Ladung - den Generator der$\oplus\mathbb{R}$in$\mathfrak{g}_\theta$, oder äquivalent die erhaltene Ladung, die zu der zentralen Untergruppe gehört$\mathrm{U}(1)\subset G_C$. Dies geschieht für die Witt-Algebra, wo inäquivalent$\theta(L_m,L_n) = \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m,-n}$werden nach reellen Zahlen klassifiziert$c\in \mathbb{R}$.