Konkretes Beispiel dafür, dass die projektive Darstellung der Symmetriegruppe in einem Quantensystem auftritt, mit Ausnahme des Falls der Spin-Halbzahl?

Question

Konkretes Beispiel dafür, dass die projektive Darstellung der Symmetriegruppe in einem Quantensystem auftritt, mit Ausnahme des Falls der Spin-Halbzahl?

Physik
Symmetrie
Hilbert-Raum
Quantenmechanik
Gruppendarstellungen
Repräsentationstheorie

Anonym

Ich erfuhr zum ersten Mal, dass es in Weinbergs QFT vol1 eine projektive Darstellung der Symmetriegruppe gibt. In Weinbergs Lehrbuch ist die Definition der Symmetrie eines Systems, dass eine Symmetrie eine Bijektion des Hilbert-Raums ist, so dass für alle normalisierten Zustände $|\Psi\rangle$ , $|\Phi\rangle$ und die abgebildeten Zustände $|\Psi'\rangle$ , $|\Phi'\rangle$

| ⟨ Ψ | Φ ⟩ | = | ⟨ Ψ^{'} | Φ^{'} ⟩ | .

$|\langle \Psi|\Phi\rangle| = |\langle \Psi'|\Phi'\rangle|.$

Mit dieser Definition sehen wir, dass die Symmetriegruppe des Systems eine projektive Darstellung zulässt:

U (T_{2}) U (T_{1}) = e^{ich ϕ (T_{2}, T_{1})} U (T_{2} T_{1}) .

$U(T_2)U(T_1)=e^{i\phi(T_2,T_1)}U(T_2T_1).$

Zum Beispiel Spin- $1/2$ ist eine projektive Darstellung von $SO(3)$ Gruppe. Ich möchte überlegen, ob es außer der inneren Symmetrie noch andere Symmetrien gibt, die in einem System projektiv dargestellt werden können, aber ich kann keine konstruieren.

In der Quantenmechanik die Definition einer Symmetrie $S$ ist ein Operator, der mit Hamitonian pendelt $H$ , dh

[S, H] = 0.

$[S,H]=0.$ Dann sehen wir in der Eigenenergie

E_{i}

$E_i$ Unterraum,

H ψ_{μ}^{ich} = E_{ich} ψ_{μ}^{ich}

$H\psi^i_\mu=E_i \psi^i_\mu$ mit

μ = 1, 2, \dots, f_{i}

$\mu=1,2,\cdots,f_i$ . Das ist der Eigenraum der Energie

E_{i}

$E_i$ mit Abmessung

f_{i}

$f_i$ .

H S ψ_{μ}^{ich} = S H ψ_{μ}^{ich} = E_{ich} S ψ_{μ}^{ich} .

$HS\psi^i_\mu=SH\psi^i_\mu=E_i S\psi^i_\mu.$ So

S ψ_{μ}^{i}

$S\psi^i_\mu$ immer noch die gleiche Energie

E_{i}

$E_i$ und es muss um erweitert werden können

ψ_{ν}^{i}

$\psi^i_\nu$ mit

ν = 1, 2, \dots, f_{i}

$\nu=1,2,\cdots,f_i$ . Definieren Sie die Ausdehnungskoeffizienten als $D^i_{\nu\mu}(S)$ ,

S ψ_{μ}^{ich} = \sum_{v} D_{v μ}^{ich} (S) ψ_{v}^{ich}

$S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Für zwei beliebige Symmetrien

R, S

$R,S$ mit

[R, H] = 0 = [S, H]

$[R,H]=0=[S,H]$ , dann $RS\equiv Q$ als Ganzes muss eine Symmetrie da sein

[R S, H] = [R, H] S + R [S, H] = 0

$[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .

Einerseits,

R S ψ_{v}^{ich} = R \sum_{μ} D_{μ v}^{ich} (S) ψ_{μ}^{ich} = \sum_{μ γ} D_{μ v}^{ich} (S) D_{γ μ}^{ich} (R) ψ_{γ}^{ich} = \sum_{μ γ} D_{γ μ}^{ich} (R) D_{μ v}^{ich} (S) ψ_{γ}^{ich}

$RS\psi^i_\nu=R\sum_\mu D^i_{\mu\nu}(S)\psi^i_\mu =\sum_{\mu\gamma}D^i_{\mu\nu}(S) D^i_{\gamma \mu}(R)\psi^i_\gamma= \sum_{\mu\gamma} D^i_{\gamma \mu}(R)D^i_{\mu\nu}(S)\psi^i_\gamma$ Andererseits,

R S ψ_{v}^{ich} = Q ψ_{v}^{ich} = \sum_{γ} D_{γ v}^{ich} (Q) ψ_{γ}^{ich} == \sum_{γ} D_{γ v}^{ich} (R S) ψ_{γ}^{ich} .

$RS\psi^i_\nu=Q \psi^i_\nu=\sum_\gamma D^{i}_{\gamma\nu}(Q)\psi^i_\gamma==\sum_\gamma D^{i}_{\gamma\nu}(RS)\psi^i_\gamma.$ So

D^{ich} (R S) = D^{ich} (R) D^{ich} (S) .

$D^i(RS)=D^i(R)D^i(S).$

Das heißt, wir können nur die Darstellung einer anderen Symmetriegruppe als die projektive Darstellung erhalten.

Meine Frage:

Bedeutet dies, dass im Quantensystem nur die Darstellung der Symmetriegruppe auftreten kann? Wenn dies zutrifft, was bedeutet es nach der obigen Ableitung, die projektive Darstellung zu diskutieren?
Wenn die Antwort auf die erste Frage Nein lautet. Was ist die Lücke in meiner Argumentation? Und geben Sie mir außer dem Fall einer halbzahligen Spin-Halbzahl unter Rotation (oder Lorentz-Gruppe, Poincare-Gruppe) ein konkretes Beispiel , in dem eine projektive Darstellung einer Symmetriegruppe auftreten kann?

ACuriousMind

Warum gibt es hier überhaupt einen griechischen Index? Und warum wirkt die Darstellung der Symmetrie auf diesen und nicht auf den römischen Index?

Benutzer153663

@ACuriousMind Römischer Index

i

$i$ bezeichnet den Eigenraum mit Energie

E_{i}

$E_i$ . Griechischer Index

μ ν

$\mu\nu$ bezeichnen die Bezeichnung von Eigenzuständen in diesem Eigenraum.

ACuriousMind

(Abgesehen davon, dass der römische Index völlig überflüssig ist) Was genau passiert in der Zeile nach "for any two symmetries"? Wenn

R

$R$ Und

S

$S$ sind Ihre abstrakten Symmetrieoperatoren und

D

$D$ ist dann die Repräsentationskarte

R S ψ

$RS\psi$ macht keinen Sinn - Sie müssen schreiben

D (R) D (S) ψ

$D(R)D(S)\psi$ oder

D (R S) ψ

$D(RS)\psi$ von Anfang an. Du hast dich selbst betrogen, indem du das geglaubt hast

R S ψ

$RS\psi$ a) sinnvoll ist und b) beiden gleich ist, wobei Sie bei b) implizit davon ausgegangen sind, dass die Darstellung nicht projektiv ist.

Benutzer153663

@ACuriousMind

R S \equiv Q

$RS\equiv Q$ als Ganzes muss eine Symmetrie da sein

[R S, H] = [R, H] S + R [S, H] = 0

$[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .

Benutzer153663

@ACuriousMind habe ich nicht direkt gesagt

D (R)

$D(R)$ als Vertretung. Ich definiere zunächst die Ausdehnungskoeffizienten als

D_{ν μ}^{i} (S)

$D^i_{\nu\mu}(S)$ ,

S ψ_{μ}^{ich} = \sum_{v} D_{v μ}^{ich} (S) ψ_{v}^{ich}

$S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Dann finde ich, dass die Koeffizienten die Darstellung der gesamten Symmetriegruppe sind.

Antworten (1)

Konkretes Beispiel dafür, dass die projektive Darstellung der Symmetriegruppe in einem Quantensystem auftritt, mit Ausnahme des Falls der Spin-Halbzahl?

Warum gibt es hier überhaupt einen griechischen Index? Und warum wirkt die Darstellung der Symmetrie auf diesen und nicht auf den römischen Index?
@ACuriousMind Römischer Index $i$ bezeichnet den Eigenraum mit Energie $E_i$ . Griechischer Index $\mu\nu$ bezeichnen die Bezeichnung von Eigenzuständen in diesem Eigenraum.
(Abgesehen davon, dass der römische Index völlig überflüssig ist) Was genau passiert in der Zeile nach "for any two symmetries"? Wenn $R$ Und $S$ sind Ihre abstrakten Symmetrieoperatoren und $D$ ist dann die Repräsentationskarte $RS\psi$ macht keinen Sinn - Sie müssen schreiben $D(R)D(S)\psi$ oder $D(RS)\psi$ von Anfang an. Du hast dich selbst betrogen, indem du das geglaubt hast $RS\psi$ a) sinnvoll ist und b) beiden gleich ist, wobei Sie bei b) implizit davon ausgegangen sind, dass die Darstellung nicht projektiv ist.
@ACuriousMind $RS\equiv Q$ als Ganzes muss eine Symmetrie da sein $[RS,H]=[R,H]S+R[S,H]=0$ .
@ACuriousMind habe ich nicht direkt gesagt $D(R)$ als Vertretung. Ich definiere zunächst die Ausdehnungskoeffizienten als $D^i_{\nu\mu}(S)$ , $S ψ_{μ}^{ich} = \sum_{v} D_{v μ}^{ich} (S) ψ_{v}^{ich}$ $S\psi^i_\mu= \sum_\nu D^i_{\nu\mu}(S)\psi^i_\nu$ Dann finde ich, dass die Koeffizienten die Darstellung der gesamten Symmetriegruppe sind.

ACuriousMind · Answer 1

Die Verwirrung entsteht hier aus zwei unterschiedlichen Begriffen von "Symmetrie":

Symmetrie im Sinne des Satzes von Wigner : Dies ist Weinbergs Symmetriebegriff – eine Strahltransformation, die alle inneren Produkte invariant lässt. Der Satz von Wigner besagt, dass solche Strahltransformationen (anti-)einheitliche Repräsentanten haben, die bis zu einer Phase bestimmt sind, und wenn es sich um eine ganze Gruppe solcher Transformationen handelt, ist diese Mehrdeutigkeit in der Phase im Wesentlichen der Grund für den Begriff der projektiven Repräsentationen. Für eine umfassende Übersicht siehe auch meine Fragen und Antworten zu projektiven Darstellungen, zentralen Erweiterungen und universellen Abdeckungen .
Dynamische Symmetrie : Physikalisch ist der erste Begriff der "Symmetrie" zu schwach: Wenn die (anti-)einheitlichen Operatoren, die den Strahltransformationen entsprechen, nicht mit dem Hamiltonoperator kommutieren, dann ergibt die Anwendung der Symmetrie vor der Zeitentwicklung andere Ergebnisse als die spätere Anwendung . Insbesondere bleiben die Erwartungswerte der "Symmetrie"-Operatoren nicht zeitlich erhalten, was wir von Symmetrien erwarten. Eine dynamische Symmetrie – was man gewöhnlich einfach eine Symmetrie des Systems nennt – ist also ein Operator (oder eine Menge von Operatoren), der mit dem Hamilton-Operator pendelt.

Wenn Sie nun mit der Vorstellung einer "Symmetriegruppe" als einer Gruppe von Operatoren auf einem Hilbert-Raum beginnen, die mit dem Hamilton-Operator pendeln, dann haben Sie Recht, dass es keine projektiven Darstellungen gibt - eine Gruppe linearer Operatoren wird eindeutig linear dargestellt der Raum, auf dem die Operatoren agieren.

Die projektiven Darstellungen entstehen, wenn wir wissen, dass es abstrakt eine Darstellung einer abstrakten Symmetriegruppe geben sollte $G$ (wie die Rotationsgruppe oder die Lorentz-Gruppe oder jede andere Symmetriegruppe, die das klassische System, das wir quantisieren, hat) auf den Zustandsraum. Dann wissen wir das:

Zu jedem $g\in G$ Es gibt eine Strahlentransformation $T(g)$ das ist eine Symmetrie im Sinne von Wigner.
Für jede $T(g)$ , die (anti-)einheitlichen Vertreter pendeln mit dem Hamiltonian. Wenn dies für einen Repräsentanten gilt, gilt es für alle, da Phasen mit allem vertauschen. Eine projektive Darstellung von $G$ ist eine konsequente Wahl dieser Vertreter.

Danke. Könnte ein weiteres Beispiel geben, das die projektive Repräsentation anderer Gruppen wie beinhaltet $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ außer der Drehung?
@ fff123123 Ein sehr prominentes Beispiel ist die projektive Darstellung der Witt-Algebra in der konformen Feldtheorie, die normalerweise in Form der linearen Darstellungen ihrer zentral erweiterten Version, der Virasoro-Algebra, formuliert wird.
Aber ich denke, dass jede einheitliche Transformation das innere Produkt invariant halten kann. Also ist jede einheitliche Transformation eine Symmetrie im ersten Sinne?
@ fff123123 Nein, aber jede Symmetrie im ersten Sinne hat (anti-) einheitliche Repräsentanten, und alle einheitlichen Operatoren induzieren eine Strahltransformation, die eine Symmetrie der ersten Art ist. Es ist wichtig zu beachten, dass die Symmetrien der ersten Art Strahltransformationen sind , keine Operatoren auf dem Hilbert-Raum, da dies genau der Ursprung der projektiven Darstellungen ist.

Konkretes Beispiel dafür, dass die projektive Darstellung der Symmetriegruppe in einem Quantensystem auftritt, mit Ausnahme des Falls der Spin-Halbzahl?

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