Von der Symmetriegruppe zu den physikalischen Gleichungen

Soweit ich weiß:

Es gibt Symmetriegruppen wie die Rotationsgruppen SO(3), die Gruppen der Poincaré-Transformationen, ... Wenn die Physik eines Systems eine Symmetriegruppe G hat, dann kann sie durch eine Darstellung von G und den Vektorraum beschrieben werden, auf den eingewirkt wird .

Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

Wenn ich nicht so falsch liege, möchte ich ein einfachstes Beispiel kennen, wie wir die Physik dieses Systems interpretieren können, indem wir die Eigenschaften der Darstellung von G untersuchen. (weil ich umgekehrt gelernt habe: zuerst ist der Hilbert-Zustandsraum, dann die Gruppe der Symmetrieoperatoren)

EDIT: Ich denke, der Prozess der Erstellung einer Physiktheorie wäre wie folgt:

Entsprechend einer bestimmten "Physik" gibt es insbesondere eine Lie-Gruppe (genannt G) der Symmetrie. Dann können wir ein Gerüst aufbauen, indem wir diese Lie-Gruppe als eine Gruppe linearer Transformationen darstellen, die auf einen Vektorraum V wirken.

  • Jedes Element von V wäre ein physikalischer Zustand.
  • Jedes Element der Lie-Algebra (entsprechend G) wäre eine Observable (das möchte ich sicher wissen, ob es wahr oder falsch ist)

Dann können wir Quantenkonzepte wie Eigenzustand, Eigenwert, Verteilung, ... anwenden.

Liege ich falsch? Wenn ich falsch liege, wie kann ich repariert werden?

(Ich habe letzte Woche zufällig etwas über Repräsentationstheorie gelesen und bin irgendwie begeistert von der Idee, eine Theorie von einem etwas einfachen (fundamentalen) Objekt als Symmetriegruppe zu fördern.)

Ich habe ein Papier gefunden, das beschreibt, wie man Quantenphysik aus Symmetriegruppen- und Darstellungstheorie konstruiert:

http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf

Antworten (1)

Sie liegen nicht falsch, die Symmetrien einer Theorie sind wesentlich, um den richtigen Zustandsraum zu finden. Der Zustandsraum muss eine Repräsentation aller Symmetrien der Theorie enthalten (obwohl es die triviale sein könnte). Zum Beispiel für ein Quantensystem, das unter Rotation invariant ist (denken Sie an das Wasserstoffatom), die Tatsache, dass wir die Rotationsgruppe darstellen müssen S Ö ( 3 ) auf den Lösungsraum der Schrödinger-Gleichung, da sie als Wellenfunktionen die Zustände sind, spiegelt sich natürlich darin wider, dass die Lösungen (Linearkombinationen von) Kugelflächenfunktionen sind Y M l , die die Basisvektoren aller irreduziblen Darstellungen von sind S Ö ( 3 ) , gekennzeichnet durch l ∈ N . Wenn H l bezeichnet die Darstellung eines bestimmten l , der volle Zustandsraum ist ⨁ l ∈ N H l . Man hätte also den Zustandsraum erraten können, indem man allein auf die Symmetrie geachtet hätte, anstatt die Schödinger-Gleichung zu lösen! (Ich habe den Radial- und Spin-Teil oben vernachlässigt, aber es gibt die allgemeine Idee, denke ich)

Aber eine Theorie ist (fast) immer mehr als ihre Symmetrien. Viele Feldtheorien haben eine Aktion, die klassische Bewegungsgleichungen und das Quantenwegintegral bestimmt, wenn auch nicht alle . Die Quantenmechanik hat (fast) immer den Hamiltonian, der die Zeitentwicklung bestimmt, und die Quantomorphismus-Symmetrie (dieser Beitrag steht nicht in direktem Zusammenhang, aber Urs Schreiber erzählt eine großartige Geschichte darüber, wie der Übergang von der klassischen zur Quantenmechanik intrinsisch motiviert ist durch die Lie-Theorie, I denken, es könnte Sie interessieren) reicht nicht aus, um es zu beheben, es muss gegeben sein.

Am nächsten kommen Sie der Bestimmung der gesamten Theorie nur durch ihre Symmetrie, reine Quanteneichtheorien in niedrigen Dimensionen, wo in 2D die topologische Struktur der Raumzeit zusammen mit der Eichgruppe die QFT und alle Observablen (die es nicht sind) vollständig festlegt so viele).

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre genaue Frage beantwortet habe, also zögern Sie nicht, darauf hinzuweisen, wenn ich das Ziel verfehlt habe.

Es ist traurig. Wenn wir die Theorie aus der Untersuchung der Symmetriegruppe haben könnten, wäre dies ein schöner Weg, um die Quantenphysik aufzubauen. Sehr traurig.
@ACuriousMind: Wie passe ich die Idee von an S Ö ( 3 ) als Basisvektoren von irreps of S Ö ( 3 ) mit seiner formalen Definition einiger Generatoren, die eine Kommutierungsbeziehung erfüllen. Was sind hier die Generatoren und wie definieren Sie in diesem Fall den Kommutator? Mehr Infos zu Kugelflächenfunktionen als irreps of S Ö ( 3 ) und einige Referenzen werden geschätzt.
@ramanujan_dirac: Sie müssen mit der Terminologie vorsichtig sein! Die Generatoren mit ihrer Vertauschungsrelation liegen in der Lie-Algebra S Ö ( 3 ) von S Ö ( 3 ) . Die sphärischen Harmonischen können gesehen werden, um Irreps von zu bilden S Ö ( 3 ) indem man beobachtet, dass sie sich unter Drehungen nur durch die Zusammensetzung transformieren, was das ergibt H l ist eine Darstellung der Rotationsgruppe (da die Harmonischen einen Vektorraum bilden und die Zusammensetzung linear ist). Dass sie Irreps sind, sieht man dann einfach daran, dass sie genau den üblichen abstrakten Irreps entsprechen, die mit bezeichnet werden | J , M ⟩ .
@ramanujan_dirac: Das H l unter Drehung geschlossen ist, folgt daraus, dass l ( l + 1 ) ist der Eigenwert des Quadrats des Drehimpulsoperators (der der quadratische Casimir von ist S Ö ( 3 ) ) und dass die Rotationen durch die Drehimpulse erzeugt werden. Eigenräume sind also Invariantenräume H l wird unter Rotation geschlossen. Googeln findet ziemlich viel zu diesem Thema, aber ich fürchte, ich habe keine bestimmte Quelle, die ich empfehlen könnte.
Von der Symmetriegruppe zu den physikalischen Gleichungen
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