Was bedeutet es, wenn ein Intertwiner eine Gruppenaktion respektiert?

Dies ist eher eine mathematische Frage, aber sie tauchte auf, als ich nach Isospin forschte, also denke ich, dass sie hierher gehört. Ich frage mich, was genau mit "Respekten" gemeint ist und wie es im Kontext von Isospin- und Hilbert-Räumen funktioniert. Der Link zu der Quelle, die ich verwendet habe, lautet: http://math.ucr.edu/~huerta/guts/node4.html#sec:isospin Genauer gesagt, etwa auf halbem Weg nach unten, enthält der Absatz die Worte „ Verflechtungsoperator “ in Fettschrift Text

Bitte können Sie einen Verweis auf die Forschung, die Sie gelesen haben, und ein Zitat daraus einfügen, um einen Kontext für diese Frage bereitzustellen.

Antworten (2)

Normalerweise, wenn man eine Funktion sagt F respektiert eine Gruppenaktion, sie meinen das F und die Gruppenaktion pendeln.

Um genau zu sein, lassen Sie G ∈ G , F : X → Y , und die Gruppenaktion von G An X Und G An Y ist definiert und bezeichnet mit G ⋅ X Und G ⋅ j bzw. Dann F respektiert die Gruppenaktion if ∀ X ∈ X , G ∈ G

F ( G ⋅ X ) = G ⋅ F ( X )
Wie Danu anmerkt, typisch F heißt ein G -äquivariante Karte, und wie Vincent anmerkt, werden lineare äquivariante Karten auch Interwiner genannt.

Nun zur Physik. Im Fall von Isospin und den starken Wechselwirkungen unser physikalischer Zustand X des Nukleons (Proton/Neutron) lebt in einem Hilbert-Raum (einem Vektorraum). Der Isospin-Operator hat Isospin-Eigenwerte. Dies ist analog dazu, wie der Elektronenspinraum auch in einem Hilbertraum lebt und einen Spinoperator hat S z mit Spineigenwerten. Eine Operation F auf diesem Hilbert-Raum kann man sich als eine Wechselwirkung vorstellen, die einen Anfangszustand in einen Endzustand umwandelt, wie z 2 → 2 Nukleonenstreuung mit Pionenaustausch.

Wenn die Wechselwirkung durch einen Verflechtungsoperator beschrieben wird, wie etwa bei Pion-Nukleon-Nukleon-Wechselwirkungen, passiert etwas Schönes. Für jeden Intertwiner muss er seither jeden Eigenwert des Anfangszustands erhalten

G ⋅ F ( X ) = F ( G ⋅ X ) = F ( λ X ) = λ F ( X )

Insbesondere bedeutet dies, dass für jede dieser Wechselwirkungen der Gesamtisospin des Anfangszustands der Gesamtisospin des Endzustands sein muss. Kurz gesagt, eine Wechselwirkung, die ineinander verschlungen ist, bedeutet, dass sie die entsprechenden Quantenzahlen (Ladung, Spin, Isospin usw.) beibehält.

Eine Karte, die Gruppenaktionen einer Gruppe respektiert/austauscht G die sowohl auf die Domäne als auch auf die Codomäne wirkt, wird typischerweise als a bezeichnet G -äquivariante Karte übrigens.
Diese Antwort ist absolut richtig. Nur eine Bemerkung zum Wort Intertwiner: Ein Intertwiner ist definiert als eine lineare Karte (zwischen Hilbert-Räumen), die (im obigen Sinne) die Gruppenaktion auf ihrem Bereich und ihrem Kobereich respektiert. Anders ausgedrückt: im Kontext von Gruppenaktionen auf Hilbert-Räumen (eher als Mannigfaltigkeiten) a G -äquivariante lineare Abbildung wird manchmal als Intertwiner bezeichnet. Ein Intertwiner respektiert daher per Definition die Gruppenaktion, wobei das Respektieren der Gruppenaktion das ist, was Aaron schreibt

Es gibt einige Details in [diesem Papier] [1], auf Seite 95 heißt es: "... eine orthonormale Basis des invarianten Unterraums eines Tensorprodukts von Vektorräumen wird normalerweise als Intertwiner-Operatoren oder einfach als Intertwiner bezeichnet ."

[1][Daniele Regoli]- Die Beziehung zwischen Geometrie und Materie in klassischer und Quantengravitation und Kosmologie (Doktorarbeit): https://arxiv.org/abs/1104.2910

auf diese Weise führt Rovelli auch Intertwiner in einem neuen Look ein ar lqg es entspricht einem invarianten Unterraum.
Was bedeutet es, wenn ein Intertwiner eine Gruppenaktion respektiert?
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