Lösungsraum einer Differentialgleichung mit 3D-Rotationssymmetrie

Ich gehe davon aus, dass es sich um eine autonome , erste Bestellung handelt (mindestens$C^1$oder glattes) System gewöhnlicher Differentialgleichungen und dass die für die Existenz und Eindeutigkeit maximaler Lösungen ausreichenden Hypothesen erfüllt sind.

Sie können immer auf den Fall eines Systems erster Ordnung zurückführen , indem Sie Hilfsvariablen hinzufügen,$\dot{x}$, zum anfänglichen System von Differentialgleichungen und Hinzufügen von trivialen Gleichungen wie$\frac{dx}{dt} = \dot{x}$.

Das System der Differentialgleichungen ist in irgendeiner Mannigfaltigkeit zugeordnet$M$, zum Beispiel$\mathbb R^n$.

Soweit ich verstehe, gibt es eine natürliche Aktion von$SO(3)$An$M$aus Diffeomorphismen. Mit anderen Worten, es gibt eine Karte

$$SO(3) \ni R \mapsto \phi_R \in Diff(M)$$ so dass $\phi_R \phi_{R'}= \phi_{RR'}$Und $\phi_I = id$. Das erwarte ich auch $M\times SO(3) \ni (p,R) \mapsto \phi_R(p) \in M$ist gemeinsam glatt.

Wenn$q\in M$es gibt genau eine maximale Lösung durch$q$für$t=0$:

$$\gamma_q: I_q \ni t \mapsto \gamma_q(t) \in M$$ mit $I_q$ein offenes Intervall von $\mathbb R$einschließlich $0$.

Der Lösungsraum$S$kann definiert werden als$\{\gamma_q\}_{q\in M}$. (Eigentlich müssten wir auch den Quotienten bezüglich der Äquivalenzrelation bilden$\gamma_q \sim \gamma_{q'}$iff$\gamma_q = \gamma_{q'}$. Der Quotientenraum ist der wahre Lösungsraum, wenn wir das wollen$q\in M$beschrifte die Lösungen getreu.)

Als nächstes sagen wir, das System der Differentialgleichungen ist$SO(3)$unveränderlich, bedeutet das$\phi_R \circ \gamma_q \in S$Wenn$\gamma_q \in S$. Offensichtlich aufgrund des Eindeutigkeitssatzes

$$\phi_R \circ \gamma_q = \gamma_{\phi(q)}\quad \mbox{and}\quad I_q = I_{\phi_R(q)}$$ Auf diese Weise entsteht eine Darstellung von $SO(3)$An $S$definiert von $SO(3) \ni R \mapsto g_R$mit $$(g_R \gamma_q) := \gamma_{\phi_R(q)} = \phi_R \circ \gamma_q\:.$$ Das ist leicht zu beweisen $g_I =id$und das $g_Rg_{R'}= g_{RR'}$. Schließlich die Aktion von $g$ist auch glatt. Ich meine, dass die Karte $$I_q \times SO(3) \ni (t, R) \mapsto g_R(\gamma_q)(t) \in M$$ ist glatt (mind $C^1$) angesichts der glatten (oder zumindest $C^1$) Abhängigkeitssatz der maximalen Lösungen einer ODE von den Anfangsbedingungen. Eigentlich $A := U_{q\in M} \{q\} \times I_q \subset M\times \mathbb R$ist eine offene Menge (als allgemeines Ergebnis von ODE) und somit kann man sich auf die Karte konzentrieren $$A \times SO(3) \ni (q, t, R) \mapsto g_{R}(\gamma_q)(t) \in M$$ was sich als glatt herausstellt (mindestens $C^1$) sowie.