Massendegeneration von 888 und 272727 Wiederholungen von SU(3)SU(3)SU(3) in Colemans Aspekten der Symmetrie

In Colemans Aspekt der Symmetrie schlägt er im ersten Kapitel ein amüsantes Problem vor. Es fordert uns auf, einen Satz von acht pseudoskalaren Feldern zu betrachten, die sich in die adjungierte Darstellung von transformieren S U ( 3 ) . Wir werden gebeten, Wechselwirkungen in quartischer Ordnung aufzuschreiben (kubische Terme zu ignorieren) und zu zeigen, dass:

  1. Die Lagrange-Wechselwirkung wird nur durch einen Term gesteuert. Dies ist einfach zu tun. T r ( Φ 2 ) 2 und T r ( Φ 4 ) sind die einzigen Dinge, die wir aufschreiben können, und sie sind einander durch die Spurlosigkeit gleich Φ aufgrund seiner Zugehörigkeit zum adjungierten rep.

  2. Zeige nur 27 , 8 , und 1 sind mögliche Darstellungen. Dies war auch einfach. Das einzige was noch rauskommt 8 ⊗ 8 = 27 ⊕ 10 ¯ ⊕ 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1 ist 10 die in ihren unteren Indizes antisymmetrisch ist, was mit der Bose-Statistik der Mesonen nicht kompatibel ist, wenn sie einen gebundenen Zustand bilden.

  3. Zeige, dass 8 und 27 sind notwendigerweise in der Masse entartet. Dieser hat mich ratlos. Jede Hilfe wäre großartig, ich werde posten, wenn ich es löse.

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Dies ist eine interessante Frage, und das OP hat eindeutig einige Anstrengungen gezeigt, indem es 1. und 2 gelöst hat. Ich denke wirklich nicht, dass es geschlossen werden sollte
@innisfree Ich stimme zu, dass die Arbeit für die Punkte 1 und 2 gezeigt wurde . Das Problem ist, dass OP nicht angegeben hat, was er / sie versucht hat, oder Arbeit für Nr. 3 demonstriert hat, was natürlich der eigentliche Schwerpunkt des Beitrags ist. Aus diesem Grund kann ich die knappen Abstimmungen nachvollziehen.
Diese Frage schadet nicht. es wird keine Schleusen für Fragen vom Typ „Mach meine Hausaufgaben“ öffnen. viele Leute (+9 Stimmen) finden es interessant. wir müssen nicht metadogmatisch folgen.

Antworten (1)

Vielleicht liegt das Fehlen einer Antwort daran, dass Sie das eigentliche Problem, die Bildung von skalaren gebundenen Zuständen aus den acht bereitgestellten adjungierten Pseudoskalaren Φ, übersprungen haben. Das Problem ist weniger tiefgreifend, als Sie ihm zugetraut haben. Coleman möchte einfach sicherstellen, dass die Kraft der Maschine gewürdigt wird, anstatt nur als abstraktes Sudoku-Hokuspokus zu dienen.

Es lohnt sich, die Standard-SU(3)-Gruppentechnologie zu überprüfen, z. B. in dem klassischen Artikel von Macfarlane et al., CMP 11 (1968) 77-90 , und insbesondere den symmetrischen Koeffizienten der Gell-mann-Matrizen, d ich j k , das spurlos ist, d ich ich k = 0 , und erfüllt

d ich j k d l j k = 5 3 δ ich l .

  • Der kubische Term fehlt, um die Parität zu wahren.

  • 1) In der Tat, z Φ = ϕ ich λ ich , also spurlos, sein charakteristisches Polynom in der Cayley-Hamilton-Theorem- Beziehung, multipliziert mit Φ und leicht verfolgt, ergibt TrΦ⁴= (TrΦ²)²/2, so dass nur ein Wechselwirkungsterm vorhanden ist; Schreiben wir es jetzt als Spur des Quadrats einer 8x8-Matrix in den adjungierten Indizes, 2 ( ϕ ich ϕ j ) 2 .

  • 2) Die einzigen echten, symmetrischen Wiederholungen in 8 ⊗ 8 sind tatsächlich 1 , 8 und 27 , also also 8(8+1)/2=36=1+8+27.

  • 3) Brechen Sie nun diese symmetrische Matrix in ihre irreduziblen Komponenten auf, die separat transformiert werden und als interpolierende Felder der skalaren Mesonen dienen, sodass das Quadrat der Matrix ihre Massenterme darstellt. Der spurenhafte Teil ist das Unterhemd,

    s ich j = δ ich j 8 ϕ k ϕ k ,
    das spurlose symmetrische Oktett ist
    σ ich j = 3 5 d ich j k d k l m ϕ l ϕ m ,
    und das spurlose 27-plet
    ρ ich j = ϕ ich ϕ j − σ ich j − s ich j .
    Nun sind diese drei symmetrischen Matrizen spurorthogonal zueinander,
    s ich j s j ich = ϕ ⋅ ϕ / 8 , s ich j σ j ich = 0 , s ich j ρ j ich = 0 ;
    σ ich j ρ j ich = 0 , σ ich j σ j ich = ( 3 / 5 ) ( d ich j k ϕ j ϕ k ) ( d ich l m ϕ l ϕ m ) ;
    also reduziert sich die quartische Invariante auf
    ( ϕ ich ϕ j ) 2 = T r ( ρ + σ + s ) 2 = T r ( ρ 2 + σ 2 + s 2 ) ,
    Die Massen sind also alle gleich und kommen von einer einzigartigen, eingeschränkten Elterninteraktion.

  • Natürlich kann die SU(3)-Invarianz unmöglich auch den Massenterm des Singuletts einschränken , da diesem Ausdruck ein beliebiger Massenterm hinzugefügt werden kann, ohne die SU(3)-Invarianz zu beeinflussen.

Das Thema dieser Geschmacks-SU(3)-Welt war es, Symmetriebeschränkungen zu finden, die Massen und Kopplungen in Abwesenheit von Dynamik korrelieren, um zu erklärende Regelmäßigkeiten zu etablieren; und die berauschenden Erfolge dieses Spiels ebneten den Weg zum Respekt vor Lie-Gruppen und zur Anwendung auf triumphalere Bereiche ...

Hey Cosmas Zachos, vielen Dank. Ich fand dieses Problem gegen Ende meines Masterstudiums und vergaß, dass ich es hier gepostet hatte. Es war schon immer etwas, worauf ich eine Antwort haben wollte, und Ihr Beitrag hat das großartig gemacht. Ein tolles kleines Weihnachtsgeschenk ein Jahr später. Tschüss, Ryan
Massendegeneration von 888 und 272727 Wiederholungen von SU(3)SU(3)SU(3) in Colemans Aspekten der Symmetrie
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