Wie konstruiere ich die SU(2)SU(2)SU(2)-Darstellung der Lorentz-Gruppe mit SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)SU(2)×SU(2)∼SO (3,1)SU(2)\times SU(2)\sim SO(3,1) ?

Hier ist eine mathematische Herleitung. Wir verwenden die Vorzeichenkonvention$(+,-,-,-)$für die Minkowski-Metrik$\eta_{\mu\nu}$.

I) Erinnern Sie sich zunächst daran, dass

$SL(2,\mathbb{C})$ist (die doppelte Abdeckung von) der eingeschränkten Lorentz-Gruppe $SO^+(1,3;\mathbb{R})$.

Dies folgt teilweise, weil:

1. Es gibt eine bijektive Isometrie aus dem Minkowski-Raum$(\mathbb{R}^{1,3},||\cdot||^2)$zum Raum von$2\times2$Hermitesche Matrizen$(u(2),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{R}^{1,3} ~\cong ~ u(2) ~:=~\{\sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid \sigma^{\dagger}=\sigma \} ~=~ {\rm span}_{\mathbb{R}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$\mathbb{R}^{1,3}~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ u(2),$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma), \qquad \sigma_{0}~:=~{\bf 1}_{2 \times 2}.\tag{1}$$

2. Es gibt eine Gruppenaktion $\rho: SL(2,\mathbb{C})\times u(2) \to u(2)$gegeben von

   $$g\quad \mapsto\quad\rho(g)\sigma~:= ~g\sigma g^{\dagger}, \qquad g\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2), \tag{2}$$ was längenerhaltend ist, dh$g$ist eine pseudo-orthogonale (oder Lorentz-) Transformation. Mit anderen Worten, es gibt einen Lie-Gruppenhomomorphismus
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad O(u(2),\mathbb{R})~\cong~ O(1,3;\mathbb{R}) .\tag{3}$$

3. Seit$\rho$ist eine kontinuierliche Karte und$SL(2,\mathbb{C})$ist eine zusammenhängende Menge, das Bild$\rho(SL(2,\mathbb{C}))$muss wieder eine zusammenhängende Menge sein. Tatsächlich kann man also zeigen, dass es einen surjektiven Lie-Gruppen-Homomorphismus gibt$^1$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO^+(u(2),\mathbb{R})~\cong~ SO^+(1,3;\mathbb{R}) ,$$ $$\rho(\pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{u(2)}.\tag{4}$$

4. Die Lügengruppe $SL(2,\mathbb{C})=\pm e^{sl(2,\mathbb{C})}$hat Lie-Algebra

   $$sl(2,\mathbb{C}) ~=~ \{\tau\in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(\tau)~=~0 \} ~=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{i} \mid i=1,2,3\}.\tag{5}$$

5. Der Homomorphismus der Lie-Gruppe$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \to O(u(2),\mathbb{R})$induziert einen Lie-Algebra-Homomorphismus

   $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\to o(u(2),\mathbb{R})\tag{6}$$ gegeben von $$\rho(\tau)\sigma ~=~ \tau \sigma +\sigma \tau^{\dagger}, \qquad \tau\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2),$$ $$\rho(\tau) ~=~ L_{\tau} +R_{\tau^{\dagger}},\tag{7}$$ wobei wir die linke und rechte Multiplikation von definiert haben$2\times 2$Matrizen $$L_{\sigma}(\tau)~:=~\sigma \tau~=:~ R_{\tau}(\sigma), \qquad \sigma,\tau ~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{8}$$

II) Beachten Sie, dass die Lorentz-Lie-Algebra$so(1,3;\mathbb{R}) \cong sl(2,\mathbb{C})$nicht _$^2$zwei rechtwinklige Kopien von beispielsweise der reellen Lie-Algebra enthalten$su(2)$oder$sl(2,\mathbb{R})$. Zum Vergleich und zur Vollständigkeit erwähnen wir das für andere Signaturen in$4$Maße, man hat

$$SO(4;\mathbb{R})~\cong~[SU(2)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \qquad\text{(compact form)}\tag{9}$$

$$SO^+(2,2;\mathbb{R})~\cong~[SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})]/\mathbb{Z}_2.\qquad\text{(split form)}\tag{10}$$

Die kompakte Form (9) hat einen schönen Beweis mit Quaternionen

$$(\mathbb{R}^4,||\cdot||^2) ~\cong~ (\mathbb{H},|\cdot|^2)\quad\text{and}\quad SU(2)~\cong~ U(1,\mathbb{H}),\tag{11}$$

siehe auch diesen Math.SE-Beitrag und diesen Phys.SE-Beitrag. Die geteilte Form (10) verwendet eine bijektive Isometrie

$$(\mathbb{R}^{2,2},||\cdot||^2) ~\cong~({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(\cdot)).\tag{12}$$

Um den Minkowski-Raum in links- und rechtshändige Weyl-Spinor-Darstellungen zu zerlegen, muss man auf die Komplexifizierung gehen , dh man muss die Tatsache verwenden, dass

$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ist (die doppelte Abdeckung von) die komplexe eigentliche Lorentz-Gruppe$SO(1,3;\mathbb{C})$.

Beachten Sie, dass Refs. 1-2 diskutieren keine Komplexifizierung$^2$. Man kann die Konstruktion aus Abschnitt I mit den reellen Zahlen mehr oder weniger wiederholen$\mathbb{R}$durch komplexe Zahlen ersetzt$\mathbb{C}$, jedoch mit einigen wichtigen Vorbehalten.

1. Es gibt eine bijektive Isometrie aus dem komplexierten Minkowski-Raum$(\mathbb{C}^{1,3},||\cdot||^2)$zum Raum von$2\times2$Matrizen$({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{C}^{1,3} ~\cong ~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ~=~ {\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$M(1,3;\mathbb{C})~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ,$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma).\tag{13}$$ Beachten Sie, dass Formen als bilinear und nicht als sesquilinear angesehen werden .

2. Es gibt einen surjektiven Homomorphismus der Lie-Gruppe$^3$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})~\cong~ SO(1,3;\mathbb{C})\tag{14}$$ gegeben von $$(g_L, g_R)\quad \mapsto\quad\rho(g_L, g_R)\sigma~:= ~g_L\sigma g^{\dagger}_R,$$ $$g_L, g_R\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{15}$$

3. Die Lügengruppe$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$hat Lie-Algebra$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$.

4. Der Homomorphismus der Lie-Gruppe
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{16}$$ induziert einen Lie-Algebra-Homomorphismus $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})\quad\to\quad so({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{17}$$ gegeben von $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R)\sigma ~=~ \tau_L \sigma +\sigma \tau^{\dagger}_R, \qquad \tau_L,\tau_R\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad \sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),$$ $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R) ~=~ L_{\tau_L} +R_{\tau^{\dagger}_R}.\tag{18}$$

Die linke Aktion (von links auf einen zweidimensionalen komplexen Spaltenvektor wirkend) ergibt per Definition die (linkshändige Weyl-) Spinordarstellung$(\frac{1}{2},0)$, während die rechte Aktion (von rechts auf einen zweidimensionalen komplexen Zeilenvektor wirkend) per Definition die rechtshändige Weyl / komplexe konjugierte Spinor-Darstellung ergibt$(0,\frac{1}{2})$. Das zeigt das oben

Der komplexe Minkowski-Raum$\mathbb{C}^{1,3}$ist ein$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$Vertreter der Lie-Gruppe$SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$, dessen Aktion die Minkowski-Metrik respektiert.

Verweise:

1. Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, 1. Auflage, 2003.

2. Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, 2. Auflage, 2010.

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$^1$Es ist leicht nachzuprüfen, dass es nicht möglich ist, diskrete Lorentz-Transformationen, wie zB Parität , zu beschreiben $P$, Zeitumkehr $T$, oder$PT$mit Gruppenelement$g\in GL(2,\mathbb{C})$und Formel (2).

$^2$Schauen Sie sich zum Lachen den (in mehrfacher Hinsicht) falschen zweiten Satz auf S. 113 in Ref. an. 1: „Die mathematisch Anspruchsvollen sagen, dass die Algebra$SO(3,1)$ist isomorph zu$SU(2)\otimes SU(2)$.“ Die korrigierte Aussage wäre zB „Die mathematisch Anspruchsvollen sagen, dass die Gruppe$SO(3,1;\mathbb{C})$ist lokal isomorph zu$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$.“ Lassen Sie mich dennoch schnell hinzufügen, dass Zees Buch insgesamt ein sehr schönes Buch ist. In Lit. 2 wird der obige Satz entfernt und ein Unterabschnitt namens „More on$SO(4)$,$SO(3,1)$, und$SO(2,2)$" wird auf Seite 531-532 hinzugefügt.

$^3$Es ist nicht möglich, eine unsachgemäße Lorentz-Transformation nachzuahmen$\Lambda\in O(1,3;\mathbb{C})$[dh mit negativer Determinante$\det (\Lambda)=-1$] mit Hilfe von zwei Matrizen$g_L, g_R\in GL(2,\mathbb{C})$in Formel (15); wie zB die räumliche Paritätstransformation

$$P:~~(x^0,x^1,x^2,x^3) ~\mapsto~ (x^0,-x^1,-x^2,-x^3).\tag{19}$$ In ähnlicher Weise sind die Weyl-Spinor-Darstellungen Darstellungen von (der doppelten Abdeckung von) $SO(1,3;\mathbb{C})$aber nicht von (der doppelten Abdeckung von) $O(1,3;\mathbb{C})$. B. die räumliche Paritätstransformation (19) zwischen linkshändigen und rechtshändigen Weyl-Spinordarstellungen verflechten.

Für das vorliegende Problem, präzise formuliert, „ Zeigen Sie, dass die$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$Vertretung der$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$group is* the Lorentz 4-vector" , sollte die Lösung - die aus Qmechanics ansonsten gutem Beitrag nicht so ersichtlich ist - durch direkte / Brute-Force-Berechnung gezeigt werden. Dies ist relativ einfach, und ich zitiere aus meinem Diplom/Batchlor-Abschluss Papier (geschrieben in meiner Muttersprache Rumänisch)

TEIL 1:

Lassen$\psi_{\alpha}$Seien die Komponenten eines Weyl-Spinors bzgl. der kanonischen Basis in einem 2-dimensionalen Vektorraum, in dem die Fundamentale$\left(\frac{1}{2},0\right)$Repräsentation von$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$"lebt". Dasselbe für$\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}$und die kontragradiente Darstellung derselben Gruppe,$\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Dann gilt als Anwendung des Satzes von Clebsch-Gordan z$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$:

LEMMA:

$\begin{equation} \psi _{\alpha }\otimes \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv \psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}=\left[ \frac{1% }{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{% \beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv V^{\mu}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\text{.} \end{equation}$

NACHWEISEN:

$\left[ \frac{1}{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }% }\right] \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}=% \frac{1}{2}\left( \varepsilon ^{\beta \gamma }\psi _{\gamma }\right) \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \varepsilon ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\stackrel{\bullet }{\gamma }}\overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right) \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =-\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\varepsilon ^{\beta \gamma }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{% \bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{% \alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\left[ \varepsilon ^{\gamma \beta }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{% \bullet }{\alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% \gamma }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{% \stackrel{\bullet }{\alpha }}^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{\alpha }^{\gamma }=\psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}$

Dieser Beweis macht die Pauli-Matrizen als Clebsch-Gordan-Koeffizienten anzusehen.

TEIL 2:

SATZ:

$V^{\mu}\left(\psi,\chi\right)$oben definiert ist ein Lorentz-4-Vektor (d. h. sie sind Komponenten eines Lorentz-4-Vektors, der als generisches Mitglied eines Vektorraums betrachtet wird, der die fundamentale Darstellung der eingeschränkten Lorentz-Gruppe trägt$\mathfrak{Lor}(1,3)$).

NACHWEISEN:

$V'^{\mu}\equiv \left( \phi ^{\prime }\right) ^{\alpha }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }}=-\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }\left( \phi ^{\prime }\right) _{\beta }=-\left( M^{*}\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}{}^{\stackrel{% \bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\delta _{\stackrel{\bullet }{% \gamma }}^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\zeta }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{% \sigma }^{\nu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\left[ \left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right] \left[ \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\nu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\phi _{\zeta }\right] \\ =-\frac{1}{2}Tr\left( M^{\dagger }\overline{\sigma }^{\mu }M\sigma _{\nu }\right) \left( \overline{\chi }\overline{\sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =-\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \overline{\chi }\overline{% \sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \phi \sigma ^{\nu }\overline{% \chi }\right) \equiv \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) V^{\nu}$

*ist = bedeutet im Sinne der Gruppendarstellungstheorie, dass die Trägervektorräume der beiden Darstellungen isomorph sind, was der Inhalt des Lemmas ist. Hinweis für den Leser: Der Beweis des Theorems nutzt die Tatsache, dass diese „klassischen“ Spinoren die Grassmann-Parität 1 haben. Dies erklärt das Erscheinen und Verschwinden des „-“-Zeichens.