Wenn man die irreduziblen Darstellungen von SO(3) studiert, betrachtet man normalerweise stattdessen die Irreps der infinitesimalen Rotationen, dh die von so(3), die Lie-Algebra von SO(3). Die Irreps von so(3) können durch eine einzelne Zahl parametrisiert werden Diese Irreps von so(3) können über die Abbildung, die Elemente von so(3) auf SO(3) abbildet, zu Irreps von SO(3) erhoben werden.
Meine Frage ist nun: Wie kommt SU(2) ins Spiel? IIRC die irreps von SO(3) entsprechen nur den ganzzahligen irreps von so(3). Wie ist das möglich, wenn jeder so(3)-Irrep wie oben beschrieben auf einen von SO(3) erhöht werden kann? Werden mehrere Irreps von so(3) zu einem einzigen von SO(3) erhoben?
Wenn das, was ich bisher gesagt habe, richtig ist, dann erforderte die Entdeckung des Zeeman-Effekts eine Erweiterung dieser Theorie, da einige Spektrallinien eine Entartung von zeigten , was bedeutet, dass j eine halbe ganze Zahl sein musste: nur die vollen ganzzahligen Irreps von SO(3) reichen nicht aus!
SO(3) und SU(2) sind bis auf die Rotationen isomorph zueinander . Wie löst dies das Problem, dass SO (3) halbzahlige Darstellungen nicht berücksichtigt?
Prost und Danke im Voraus!
Die Lie-Algebren Und sind isomorph, aber die Lie-Gruppen Und sind nicht. In der Tat ist die doppelte Abdeckung von ; es gibt einen 2-1-Homomorphismus vom ersteren zum letzteren.
Wie ist das möglich, wenn jeder so(3)-Irrep wie oben beschrieben auf einen von SO(3) erhöht werden kann?
Die halbe ganze Zahl irreps von habe kein entsprechendes irreps, aber sie haben entsprechende irreps. Wenn Sie versuchen, die halbzahligen Irreps zu potenzieren, erhalten Sie keine Darstellung von .
Eine Erklärung dafür, warum wir körperlich relevante Dinge vermissen, wenn wir nur darüber nachdenken und nicht seine doppelte Abdeckung ist hier angegeben:
QMechaniker
ACuriousMind