Konsistenz der Transformation von Skalarfeldern mit mathematischer Definition einer Darstellung von Lie-Algebra und Lie-Gruppe

Question

Konsistenz der Transformation von Skalarfeldern mit mathematischer Definition einer Darstellung von Lie-Algebra und Lie-Gruppe

Physik
Lügen-Algebra
Feldtheorie
Gruppentheorie
Quantenfeldtheorie
Repräsentationstheorie

Der Quantenmann

Transformationen von Skalarfeldern unter einer Lorentz-Gruppentransformation werden durch Differentialoperatoren erzeugt $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ .

Andererseits eine Darstellung einer Lie-Gruppe $G$ und Algebra ist als Homomorphismus definiert $\pi: g\in G \rightarrow \pi(g)\in GL(n,\mathbb{C})$ Und $\psi: X\in \mathbb{g} \rightarrow \psi(X)\in \mathbb{gl}(n,\mathbb{C} )$ , Wo $GL(n,\mathbb{C})$ bezeichnet die allgemeine lineare Matrixgruppe von $n\times n$ komplexe invertierbare Matrizen und $\mathbb{gl}(n,\mathbb{C})$ ist seine Lie-Algebra und $G$ ist die betreffende Gruppe mit $\mathbb{g}$ ist seine Lie-Algebra.

Wie können also Generatoren einer Lie-Algebra durch Differentialoperatoren dargestellt werden, wenn Darstellungen von Lie-Algebren die obige Definition haben (dh Abbildungen auf die Lie-Algebra entsprechend der Gruppe von $n\times n$ invertierbare Matrizen)?

BEARBEITEN: Der erste Teil wurde von Folgendem inspiriert (aus Freedman und Van Proyens Supergravity, S. 14):

ACuriousMind

„Transformationen von Skalarfeldern unter allgemeinen Koordinatentransformationen werden durch Differentialoperatoren erzeugt $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ ." - was meinst du damit? Wo hast du das gehört? (Die Behauptung ist falsch: Die Gruppe der Diffeomorphismen (

≅

$\cong$ "allgemeine Koordinatentransformation") ist im Allgemeinen unendlichdimensional, aber die Algebra von

L_{μ ν}

$L_{\mu\nu}$ ist eindeutig endlichdimensional)

Der Quantenmann

@ACuriousMind Danke für den Kommentar. Es war ein Fehler. Ich habe die Frage jetzt bearbeitet.

ACuriousMind

In Ordnung. Also, was genau ist Ihre Frage? Die Differentialoperatoren

L_{μ ν}

$L_{\mu\nu}$ sind lineare Operatoren auf dem Vektorraum von Skalarfeldern. Sie bilden also eine (unendlichdimensionale) Darstellung der Lorentz-Gruppe. Ist das dein Problem

n

$n$ ist hier nicht endlich?

Der Quantenmann

@ACuriousMind Ja, ich denke schon. Eine Darstellung sollte ein Element der allgemeinen linearen Gruppe sein, daher kann ich nicht genau erkennen, wie ein Differentialoperator zu dieser Beschreibung passt, obwohl ich jetzt vermute, dass die Antwort trivial sein könnte

ACuriousMind

Wenn Sie sich z. B. Wikipedias Definition einer Gruppendarstellung ansehen, ist es nicht erforderlich, dass der Vektorraum endlichdimensional ist.

Antworten (1)

Konsistenz der Transformation von Skalarfeldern mit mathematischer Definition einer Darstellung von Lie-Algebra und Lie-Gruppe

„Transformationen von Skalarfeldern unter allgemeinen Koordinatentransformationen werden durch Differentialoperatoren erzeugt $L_{\mu\nu}=x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu$ ." - was meinst du damit? Wo hast du das gehört? (Die Behauptung ist falsch: Die Gruppe der Diffeomorphismen ( $\cong$ "allgemeine Koordinatentransformation") ist im Allgemeinen unendlichdimensional, aber die Algebra von $L_{\mu\nu}$ ist eindeutig endlichdimensional)
@ACuriousMind Danke für den Kommentar. Es war ein Fehler. Ich habe die Frage jetzt bearbeitet.
In Ordnung. Also, was genau ist Ihre Frage? Die Differentialoperatoren $L_{\mu\nu}$ sind lineare Operatoren auf dem Vektorraum von Skalarfeldern. Sie bilden also eine (unendlichdimensionale) Darstellung der Lorentz-Gruppe. Ist das dein Problem $n$ ist hier nicht endlich?
@ACuriousMind Ja, ich denke schon. Eine Darstellung sollte ein Element der allgemeinen linearen Gruppe sein, daher kann ich nicht genau erkennen, wie ein Differentialoperator zu dieser Beschreibung passt, obwohl ich jetzt vermute, dass die Antwort trivial sein könnte
Wenn Sie sich z. B. Wikipedias Definition einer Gruppendarstellung ansehen, ist es nicht erforderlich, dass der Vektorraum endlichdimensional ist.

J. Murray · Answer 1

Das ist nicht die Definition einer Darstellung einer Lie-Gruppe – es ist die Definition einer endlichdimensionalen Darstellung einer Lie-Gruppe.

Allgemeiner eine Darstellung in einem Vektorraum $V$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\pi:g\in G\mapsto \pi(g)\in\operatorname{Aut}(V)$ , Wo $\operatorname{Aut}(V)$ ist die Menge der Automorphismen auf $V$ . Wenn $V$ ist dann endlichdimensional $\operatorname{Aut}(V)\simeq GL(n,\mathbb R)$ oder $GL(n,\mathbb C)$ , Aber $V$ muss nicht endlichdimensional sein, wie es hier der Fall ist.

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Der Quantenmann

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J. Murray

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