Was garantiert die Existenz von unitären Operatoren, die Lorentz-Transformationen implementieren?

Dein letzter Satz beantwortet deine Frage.

Wir beobachten die Lorentz-Symmetrie in den Naturgesetzen. Deshalb fordern wir, dass sich die Bausteine ​​unserer Theorie in bestimmte Darstellungen der Lorentz- (oder vielmehr Poincaré-) Gruppe verwandeln.

Würden Sie Felder zulassen, die keine Darstellungen der Lorentz-Gruppe sind, würde es extrem schwierig werden, eine Theorie zu konstruieren, die Lorentz-invariant aussieht.

Das behaupte ich

In jeder relativistischen Quantentheorie müssen Lorentz-Transformationen von Zuständen als projektive, einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe realisiert werden, die auf den Hilbert-Raum der Theorie einwirkt.

Hier ist die Logik:

1. In jeder relativistischen Theorie sind die Beobachtungen von Raumzeitereignissen von Trägheitsbeobachtern durch Lorentz-Transformationen verknüpft.

2. Wir fragen uns, wie die Beobachtungen von Quantenzuständen , nämlich Elementen eines gewissen Hilbert-Raums$\mathcal H$die ein bestimmtes Quantensystem modelliert, auf das verschiedene Trägheitsbeobachter bezogen sind. Mathematisch ausgedrückt für jede Lorentz-Transformation$\Lambda$, möchten wir eine Funktion zuordnen$f_\Lambda:\mathcal H\to\mathcal H$so dass wenn$|\psi\rangle$ist dann der von einem Trägheitsbeobachter gemessene Zustand$f_\Lambda |\psi\rangle$ist der Zustand, der vom Trägheitsbeobachter gemessen wird, dessen Raumzeitbeobachtungen durch die Lorentz-Transformation mit den ersten zusammenhängen$\Lambda$.

3. Wir merken das jedenfalls$f_\Lambda$Das heißt, es sollte quantenmechanische Übergangswahrscheinlichkeiten bewahren. Mit anderen Worten, für jeden$\Lambda$,$f_\Lambda$soll eine Symmetrie im allgemeinen quantenmechanischen Sinne sein, definiert durch die Erhaltung von Übergangswahrscheinlichkeiten.

4. Wir erinnern daran, dass der Satz von Wigner garantiert, dass jede solche Symmetrie bis zur Phase durch einen unitären oder anti-unitären Operator dargestellt werden kann.

5. Wir argumentieren nein$f_\Lambda$kann anti-unitary sein (ich habe tatsächlich das herkömmliche Argument dafür vergessen, vielleicht können Sie versuchen, dieses Detail vor mir auszufüllen). Also verwenden wir die Notation$f_\Lambda = U(\Lambda)$stattdessen dies zu betonen.

6. Wir betrachten drei Inertialbeobachter$A$,$B$, Und$C$. Wir lassen$\Lambda_{ij}$sei die Lorentz-Transformation, die die Raumzeitmessungen des Beobachters verbindet$j$zu denen von$i$, also bspw.$\Lambda_{AB}$ist die Lorentz-Transformation, die die Raumzeitbeobachtung des Beobachters verbindet$B$zu denen von$A$.

7. Wir stellen fest, dass die Zustandsmessungen von Beobachtern$A$Und$C$verwandt sind durch$U(\Lambda_{AC})$. Darüber hinaus erwarten wir dies, wenn wir die Zustandsmessungen des Beobachters transformieren$A$zu denen von$B$mit$U(\Lambda_{AB})$, und wandeln Sie dann diese Messungen in die von um$C$mit$U(\Lambda_{BC})$, dann sollten wir die gleiche Antwort bis zur Phase (auch als physikalisch äquivalenter Zustand bezeichnet) erhalten, nämlich

   $$\begin{align} U(\Lambda_{AC}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}). \end{align}$$ wobei der Teil "bis zur Phase" von der Tatsache herrührt, dass Zustände, die sich um eine Phase unterscheiden, in der Quantenmechanik physikalisch äquivalent sind. Aber jetzt merken wir das$\Lambda_{AC} = \Lambda_{BC}\Lambda_{AB}$, also bringen wir die Homomorphie-Eigenschaft auf Phase $$\begin{align} U(\Lambda_{BC}\Lambda_{AB}) = c(\Lambda_{BC}, \Lambda_{AB})U(\Lambda_{BC})U(\Lambda_{AB}) \end{align}$$ und damit sind wir fertig.

8. Verwandter Beitrag (um den "projektiven" Teil besser zu verstehen): Idee der Abdeckgruppe