Darstellung der Lorentzgruppe

Ich bin etwas verwirrt über Lorentz-Gruppendarstellungen. Ich sehe, dass die Lorentz-Gruppe nicht kompakt ist und es daher keine treue irreduzible einheitliche endlichdimensionale Darstellung gibt. Tatsächlich kann ich sehen, dass Rotationsgruppengeneratoren antihermitesch sind, während Boost-Generatoren hermitesch sind und aus diesem Grund die Darstellung nicht einheitlich ist. Dasselbe gilt für die Dirac-Darstellung.

Wenn ich die Poincaré-Gruppe vorstelle, sehe ich, dass der Übersetzungsoperator wirkt C ∞ Funktionen, also brauche ich auch Generatoren für Boosts und Rotationen, die eine unendliche Darstellung der Lorentz-Gruppe geben können; Ich verwende daher den generischen Drehimpulsoperator.

Meine Frage ist, warum habe ich nicht auch für Spinoren eine unendliche dimensionale Darstellung? Liegt es daran, dass die Spinoraldarstellung der Lorentz-Gruppe nur auf Spin-Freiheitsgrade wirkt?

Darüber hinaus heißt es in „Eine Einführung in die Quantenfeldtheorie“ von Peskin und Schroeder auf Seite 41: „Tatsächlich hat die Lorentz-Gruppe, da sie nicht kompakt ist, keine getreuen, endlichdimensionalen Darstellungen, die einheitlich sind. Aber das spielt keine Rolle uns, da ψ ist keine Wellenfunktion; es ist ein klassisches Feld.“ Was bedeutet das?! Ich bin verwirrt!

Warum würden Sie sagen, dass es keine unendlichdimensionalen einheitlichen Spinor-Darstellungen gibt? Dirac-Feld ψ ( X ) ist nur ein Beispiel für eine solche Darstellung.
@SolenodonParadoxus Könnten Sie mir erklären, warum der Spinor eine Repräsentation ist?
@ user129511 Genau das ψ ( X ) Feld mit den üblichen Transformationseigenschaften ... Details finden Sie in der Antwort von Frederic Thomas.
„Aber das macht uns nichts aus, da 𝜓 keine Wellenfunktion ist, sondern ein klassisches Feld.“ Diese Aussage ist falsch, ich denke, 𝜓 ist eine Wellenfunktion im Hilbert-Raum; wenn Sie EOM von 𝜓 als schreiben
ich ∂ T ψ = H ψ
Und H = − ich γ 0 γ J ∂ J + M γ 0 .

Antworten (1)

Dirac-Spinoren in der relativistischen Theorie sind endlichdimensionale Darstellungen der Lorentz-Gruppe mit der Besonderheit, nicht einheitlich zu sein.

ψ a = Λ β a ψ β

mit endlichdimensional Λ ≈ 1 + 1 2 ω μ v M μ v Wo M μ v ist eine Matrix, die zu den Generatoren der Lorentz-Gruppe gehört und ω μ v eine antisymmetrische Matrix, die die 3-dim enthält. Winkel a Parameter und die 3-dim.Geschwindigkeit v / C Parameter.

In der nicht-relativistischen Theorie braucht man den Betrag der Wellenfunktion | ψ ' | 2 = ( U ψ ) † U ψ = ψ † ψ = | ψ | 2 invariant zu sein, das ist allerdings nur mit einheitlichen Darstellungen zu erreichen, etwa mit denen der S Ö ( 3 ) -Gruppe. Allerdings der entsprechende Modul | ψ | 2 = ψ + ψ = ψ ¯ γ 0 ψ in der relativistischen Theorie tatsächlich wie eine 0-Komponente eines 4-Vektors transformiert, ist also nicht invariant unter Lorentz-Transformationen. Die Uneinheitlichkeit der Lorentz-Transformationen ist also kein Problem.

Betrachtet man jedoch die Poincare'-Gruppe, so erhält man auch unendlichdimensionale Darstellungen mit Spinoren, die sich wie folgt transformieren:

ψ ' a ( X ' ) = U ( Λ ) ψ a ( X ) U ( Λ − 1 ) = D ( Λ − 1 ) β a ψ β ( Λ X )

Und sie sind unendlichdimensional und einheitlich.

Für relativistische Weyl-Spinoren ist es ziemlich ähnlich, die formalen Ausdrücke in dieser Antwort sind die gleichen, abgesehen von dem Detail, dass die Größe der Matrizen und ihrer dann verwendeten Matrixelemente angepasst werden muss. Vor allem ein zaghafter Ausdruck wie | ψ | 2 ∼ ψ † A ˙ ψ A (wenn ein solcher Ausdruck irgendeinen Sinn machte, dessen bin ich mir nicht sicher), der von Weyl-Spinoren gebildet wird, muss auch nicht invariant sein, daher ist eine Einheitlichkeit der endlichen Lorentz-Transformationsdarstellung nicht erforderlich.

Für weitere Details muss die Literatur konsultiert werden. Eine Auswahl in dieser Hinsicht ist zum Beispiel das Buch von Srednicki.

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