Verschiedene Darstellungen der Lorentz-Algebra

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Die verschiedenen Definitionen , die Sie erwähnt haben, sind KEINE Definitionen. Tatsächlich beschreiben Sie verschiedene Darstellungen der Lorentz-Algebra. Die Darstellungstheorie spielt in der Physik eine sehr wichtige Rolle.

Was die Lie-Algebra betrifft, die Generatoren$L_{\mu\nu}$sind einfach einige Operatoren mit einigen definierten Kommutierungseigenschaften.

Die Auswahlmöglichkeiten$L_{\mu\nu} = J_{\mu\nu}, S_{\mu\nu}$und$M_{\mu\nu}$sind verschiedene Realisierungen oder Darstellungen derselben Algebra. Hier definiere ich

$$\begin{align} \left( J_{\mu\nu} \right)_{ab} &= - i \left( \eta_{\mu a} \eta_{\nu b} - \eta_{\mu b} \eta_{\nu a} \right) \\ \left( S_{\mu\nu}\right)_{ab} &= \frac{i}{4} [ \gamma_\mu , \gamma_\nu ]_{ab} \\ M_{\mu\nu} &= i \left( x_\mu \partial_\nu + x_\nu \partial_\mu \right) \end{align}$$ Eine andere mögliche Darstellung ist die triviale wo $L_{\mu\nu}=0$.

Warum ist es wichtig, diese unterschiedlichen Darstellungen zu haben?

In der Physik hat man mehrere verschiedene Felder (Teilchen). Wir wissen, dass sich diese Felder unter der Lorentz-Gruppe (unter anderem) in irgendeiner Weise umwandeln müssen. Die Frage ist dann: Wie transformieren sich Felder unter der Lorentz-Gruppe ? Die Antwort ist einfach. Wir wählen verschiedene Darstellungen der Lorentz-Algebra aus und definieren dann die Felder, die unter dieser Darstellung transformiert werden sollen! Zum Beispiel

1. Objekte, die sich unter der trivialen Darstellung transformieren, werden Skalare genannt.
2. Objekte verwandeln sich darunter$S_{\mu\nu}$werden Spinoren genannt.
3. Objekte verwandeln sich darunter$J_{\mu\nu}$heißen Vektoren.

Man kann sich auch andere Darstellungen einfallen lassen, aber diese sind die häufigsten.

Wie wäre es mit$M_{\mu\nu}$du fragst? Die Objekte, die ich oben beschrieben habe, sind eigentlich die Transformation von NICHT-Feldern (in Ermangelung eines besseren Begriffs. Ich beziehe mich einfach auf Objekte ohne Raum-Zeit-Abhängigkeit). Andererseits kümmern wir uns in der Physik um FELDER. Um diese Typen zu beschreiben, muss man nicht nur die Umwandlung ihrer Bestandteile definieren, sondern auch die Raum-Zeit-Abhängigkeiten. Dies geschieht durch die Einbeziehung der$M_{\mu\nu}$Darstellung zu allen oben beschriebenen Definitionen. Wir haben dann

1. Felder, die sich unter der trivialen Darstellung transformieren$L_{\mu\nu}= 0 + M_{\mu\nu}$werden Skalarfelder genannt.
2. Felder, die sich unter transformieren$S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$heißen Spinorfelder.
3. Felder, die sich unter transformieren$J_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$heißen Vektorfelder.

Mathematisch macht nichts diese Darstellungen grundlegender als die anderen. Die meisten Teilchen in der Natur können jedoch in Skalare (Higgs, Pion), Spinoren (Quarks, Leptonen) und Vektoren (Photon, W-Boson, Z-Boson) eingeteilt werden. Daher sind die obigen Darstellungen oft alles, worüber man spricht.

Soweit ich weiß, werden Clifford-Algebren nur zur Konstruktion von Spinor-Darstellungen der Lorentz-Algebra verwendet. Es gibt vielleicht einen obskuren Kontext in einem anderen Bereich der Physik, in dem dies auftaucht, aber ich habe es nicht gesehen. Natürlich bin ich kein Experte für Physik, also nehmen Sie mich nicht beim Wort. Andere sehen das vielleicht anders.

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Nur um deutlich zu machen, wie sich Felder (wie gewünscht) transformieren, erwähne ich es hier. Ein allgemeines Feld$\Phi_a(x)$transformiert sich unter einer Lorentz-Transformation als

$$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} L_{\mu\nu} \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$ wo $L_{\mu\nu}$ist die dem Feldtyp entsprechende Darstellung $\Phi_a(x)$und $\omega^{\mu\nu}$ist der Parameter der Lorentz-Transformation. Zum Beispiel, wenn $\Phi_a(x)$ist also ein Spinor $$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} \left( S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu} \right) \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$