Welche Beziehung besteht zwischen Symmetrie und Entartung in der Quantenmechanik?

Lassen Sie mich Sie an die folgenden klassischen Beispiele der Quantenmechanik erinnern.

Beispiel 1. Gebundene Zustände im 1-dim-Potential V(x).
Lassen v ( X ) ein symmetrisches Potential sein, dh

v ( X ) = v ( − X )
Wir führen den Paritätsoperator ein Π ^ auf die folgende Weise:
Π ^ F ( X ) = F ( − X ) .
Es ist offensichtlich das
[ H ^ , Π ^ ] = 0.
Daher gilt für jede Eigenfunktion von H ^ wir haben:
H ^ | ψ E ( X ) ⟩ = E | ψ E ( X ) ⟩ = E Π ^ | ψ E ( X ) ⟩ ,
dh Zustand Π ^ | ψ E ( X ) ⟩ Eigenfunktion mit gleichem Eigenwert ist. Ist E ein degeneriertes Niveau? Nein, wegen der linearen Abhängigkeit von | ψ ⟩ Und Π ^ | ψ ⟩ .

Betrachten Sie das zweite Beispiel.

Beispiel 2. Gebundene Zustände in 3-Dim-Potential v ( R ) . Wo v ( R ) besitzt zentrale Symmetrie, dh hängt nur vom Abstand zum Zentrum ab.
In diesem Potential können wir die Eigenfunktion des Drehimpulses wählen L ^ 2 für Grundlage

| l , M ⟩ ,
Wo l ist der Gesamtdrehimpuls und M - seine Projektion auf die gewählte Achse (normalerweise z ). Wegen Isotropie Eigenfunktion mit unterschiedlichen M aber das gleiche l einem Energieniveau entsprechen und linear unabhängig sind. Deshalb, E l ist eine degenerierte Ebene.

Meine Frage ist, ob es einen Zusammenhang zwischen Symmetrien und der Entartung von Energieniveaus gibt. Zwei Fälle sind auf den ersten Blick möglich:

  1. Existenz von Symmetrie ⇒ Existenz von Entartung
  2. Existenz von Entartung ⇒ Existenz von Symmetrie

Es scheint, dass der erste Fall nicht immer erfüllt ist, wie im ersten Beispiel gezeigt. Ich denke, Fall 1 kann erfüllt sein, wenn kontinuierliche Symmetrie vorliegt . Ich denke, der zweite Fall ist immer wahr.

Antworten (2)

Dieses Material scheint in den meisten einführenden QM-Büchern schlecht behandelt zu werden, also hier die Logik:

  • Angenommen, es gibt eine Gruppe von Transformationen G . Dann wirkt es durch einen Satz einheitlicher Transformationen auf den Hilbert-Raum Ö .
  • Der Hilbertraum ist also eine Repräsentation der Gruppe G , und zerfällt in Unterräume irreduzibler Darstellungen (irreps). Wichtig ist, dass wenn | ψ ⟩ Und | ϕ ⟩ sind in der gleichen Irrep iff, die Sie durch Anwendung von Operatoren von einem zum anderen bekommen können Ö .
  • Wenn die Transformationen Symmetrien des Hamiltonoperators sind, dann die Operatoren Ö pendeln mit dem Hamiltonian. Dann wenn | ψ ⟩ ist dann ein Energieeigenzustand Ö | ψ ⟩ ist ein Energieeigenzustand mit gleicher Energie.
  • Daher haben alle Zustände in einem Irrep die gleiche Energie. Wenn also nichttriviale Irreps mit einer Dimension größer als eins vorhanden sind, dann gibt es entartete Zustände.
  • Umgekehrt, wenn es überhaupt eine Entartung gibt, denken wir normalerweise, dass sie durch eine Symmetrie verursacht wird, die gut versteckt sein kann. Idealerweise sollte es keine "zufällige" Entartung geben.
  • Wenn G eine abelsche Gruppe ist , dann sind alle Irreps eindimensional und ergeben daher keine Entartung.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele.

  • Teilchen in einem symmetrischen 1D-Potential. Die Gruppe ist Z 2 und es wird durch den Paritätsoperator erzeugt. Die Gruppe ist abelsch, also gibt es keine Entartung.
  • Das freie Teilchen in 1D. Es gibt zwei Symmetrien: Translationssymmetrie und Paritätssymmetrie. Folglich ist die Gruppe nicht abelsch und kann nichttriviale Irreps haben. Es gibt Irreps der Dimension zwei, und diese entsprechen der Entartung der ebenen Wellenzustände e ± ich k X .
  • Ein Partikel in 1D mit H = P 3 . Es gibt keine Entartung; Das Argument für das freie Teilchen schlägt fehl, weil wir keine Paritätssymmetrie haben, sondern nur Translationssymmetrie. Dies zeigt, dass eine kontinuierliche Symmetrie (Translationen) keine Entartung garantiert. Es garantiert eine konservierte Größe (hier Momentum), aber das ist ein anderes Thema.
  • Teilchen in einem 3D-Zentralpotential. Die Gruppe ist S U ( 2 ) , was nichtabelsch ist. Die entarteten Mengen von Zuständen { l , M } − l ≤ M ≤ l sind nur die irreps von S U ( 2 ) .
  • Wasserstoffatom. Es gibt eine zusätzliche Entartung zwischen Zuständen mit demselben N aber anders l Quantenzahlen. Dies kommt aus einem Versteck S Ö ( 4 ) Symmetrie des Hamiltonoperators.

Zusammenfassend ist Ihr zweiter Punkt wahr (im Allgemeinen impliziert Entartung Symmetrie), aber Ihr erster Punkt ist falsch. Kontinuierliche Symmetrien garantieren Ihnen Erhaltungsgrößen, keine Entartung.

Entartung kann auch topologische Ordnung 0 implizieren :) Andererseits kann das wiederum mit Eichsymmetrien verknüpft werden ...
Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich muss fragen. Erstens, wenn Sie sagen, dass der Hilbert-Raum eine Darstellung der Gruppe ist, was meinen Sie darunter? Ich dachte, es sollten Matrizen im Hilbert-Raum sein. Zweitens entschuldige ich meine Unwissenheit, aber ich verstehe nicht, warum es keine Entartung gibt, wenn die Gruppe abelsch ist. Könnten Sie einen Hinweis geben?
Mathematisch gesehen ist eine Darstellung der Vektorraum, aber manchmal sagen wir in der Physik, dass die Operatoren, die auf diesen Vektorraum wirken, „die Darstellung“ sind. In dieser Antwort meine ich die erste.
Wenn die Gruppe abelsch ist, können Sie alle Operatoren auf einmal diagonalisieren. Das bedeutet, dass das Handeln mit einem Symmetrieoperator auf dieser Basis niemals einen anderen Zustand ergibt, sodass Sie keine Entartung erhalten. Es funktioniert genau wie Ihr Beispiel für Parität.
@knzhou, wenn Sie sagen, alle Operatoren auf einmal zu diagonalisieren, meinen Sie, sie zu reduzieren λ ICH , Wenn ICH ist Identität u λ ist eine Zahl (diese Zahl hängt vom Operator ab)?
@Wolfgang Nein, ich meine, sie auf diagonale Matrizen zu reduzieren.
@RubenVerresen Ich glaube, dass topologische Entartung nur für unendliche Systeme genau wird, und diese Antwort diskutiert endliche Systeme.

Die Antwort von knzhou ist sehr gut erklärt, aber es ist vielleicht erwähnenswert, dass die Energielücken zwischen verschiedenen Symmetriesektoren typischerweise mit der Systemgröße abnehmen und formal im thermodynamischen Limit verschwinden. Ein System unendlicher Größe kann also tatsächlich (muss aber nicht) eine symmetrieinduzierte Entartung haben, selbst wenn die Symmetrie abelsch ist (unabhängig davon, ob die Symmetrie diskret oder kontinuierlich ist - z. B. das Quanten-Transversal-Ising-Modell, das hat Z 2 Symmetrie, hat eine zweifache Grundzustandsentartung in der thermodynamischen Grenze und die X - Y Modell, das hat U ( 1 ) Symmetrie, hat unendliche GS-Entartung). Wenn es im thermodynamischen Limit eine symmetrieinduzierte entartete GS-Mannigfaltigkeit gibt, dann ist die Symmetrie typischerweise gebrochen: Die physikalisch realistischen Grundzustände sind unter der Symmetrie nicht invariant.

Auch ohne Symmetrie kann ein unendlich großes System in einer topologisch geordneten Phase endlich entartet sein. Diese Entartung ist extrem robust, weil anders als im symmetrieinduzierten Fall keine mögliche Störung sie aufheben kann.

Welche Beziehung besteht zwischen Symmetrie und Entartung in der Quantenmechanik?
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