Hat die ABJ-Anomalie für das abelsche Eichfeld ein topologisches Argument?

Wir wissen, dass die ABJ-Anomalie für nicht-abelsche Eichfelder mit Eichgruppen enthaltend ist S U ( 2 ) als Untergruppe hat ein topologisches Argument aus dem euklidischen Pfadintegral. Durch das Studium des euklidischen Pfadintegrals können wir das BPST-Instanton finden. In Gegenwart des BPST-Instantons ist die Anzahl der linkshändigen chiralen fermionischen Nullmoden und der rechtshändigen chiralen fermionischen Nullmoden nicht gleich. Man kann diese Tatsache dann als Chiralverletzung interpretieren.

Die ABJ-Anomalie existiert jedoch auch für das abelsche Eichfeld. Und wir wissen, dass es in diesem Fall aufgrund der Eichgruppenstruktur keine euklidischen Instantons mehr gibt. Aber wir können die Anomalie immer noch ableiten, indem wir das Dreiecksdiagramm studieren. Es scheint also, dass das Instanton-Argument nicht allgemein ist?

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Bei nicht-Abelschen Eichtheorien klassifizieren Instantons den Prinzipal S U ( N ) Bündel P mittels der zweiten Chern-Klasse C 2 ( P ) (Für andere Eichgruppen benötigen wir möglicherweise zusätzliche topologische Invarianten für die Klassifizierung). Sie sind selbstduale Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen, aber ihre topologische Klasse, dh andere Konfigurationen, die zu demselben Bündel gehören, sind im Allgemeinen nicht selbstdual und keine Lösungen der Bewegungsgleichungen. Der topologische Term gibt ein gemeinsames Gewicht für alle diese Konfigurationen, die zu demselben Bündel im Pfadintegral gehören.

Im Falle von U(1) Eichtheorien über einem Kompakten 4 − vielfältig M , die Selbst-Dual-Felder existieren zwar im Allgemeinen, aber sie charakterisieren keine Hauptbündel, und außerdem verschwinden sowohl der Maxwell-Term als auch der Theta-Term für eine reine Selbst-Dual- (Anti-Selbst-Dual-) Konfiguration.

Es kann jedoch nicht-triviale U(1)-Bündel geben, daher verleiht ein topologischer Theta-Term verschiedenen Bündeln im Pfadintegral unterschiedliche Gewichte.

Haupt-U(1)-Bündel Q werden nach der ersten Chern-Klasse klassifiziert. Da die erste Chern-Klasse durch ein abelsches Eichfeld dargestellt wird, hat der Theta-Term die Form:

L θ = θ ∫ F ∧ F = θ ∫ C 1 ( Q ) ∧ C 1 ( Q )

So erkennt zum Beispiel der abelsche topologische Begriff kein Element der vierten Kohomologiegruppe H 4 ( M ) die nicht als Keilprodukt zweier Elemente zerlegt werden kann H 2 ( M ) .

Da auf einer kompakten Mannigfaltigkeit die Diracsche Quantisierungsbedingung erfüllt sein muss:

Q 2 π ℏ ∫ σ F = M ( Z ) ∈ Z
Wo, Z ist zweidimensionaler Zyklus an M . ( M ( Z ) zählt die Einheiten des Flusses durch die Oberfläche von Z ), dann zerlegt F Als lineare Kombination ganzzahliger zweier Formen wird der topologische Begriff zu:
( Q 2 π ℏ ) 2 ∫ M F ∧ F = ∑ ich , J = 1 B 2 M ( Z ich ) Q ich J M ( Z J )
(Siehe die folgende Arbeit von Olive (Gleichung (3)).

Die ganzzahlige Matrix Q ich J ist die reziproke Schnittpunktmatrix, dh ihr Kehrwert zählt die Anzahl der Schnittpunkte der Zyklen Z ich Und Z J .

Die selbstdualen Felder gehen jedoch in den Dirac-Index ein, aber sie tun dies aufgrund der Wechselwirkung mit dem Hintergrund-Gravitationsfeld der Mannigfaltigkeit M . Der Index des Dirac-Weyl-Operators auf einem Kompakten 4 − Dimensionsmannigfaltigkeit ist gegeben durch:

ich N D ( D A ) = ( Q 2 π ℏ ) 2 ∫ M F ∧ F − η 8
Wo η ist die Hirzebruch-Signatur, die den Unterschied zwischen der Anzahl der harmonischen Selbst-Dual- und der harmonischen Anti-Selbst-Dual-Zwei-Formen darstellt M . (Siehe Olive und Luis Alvarez-Gaumé .

Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort. Ich bin mit einigen der mathematischen Konzepte, die Sie hier erwähnt haben, nicht vertraut. Also abschließend meinst du das F F ~ in der U(1)-Eichtheorie ist immer noch ein topologischer Begriff (erste Chern-Klasse), obwohl es keine Interpretation der vierten Kohomologiegruppe oder, häufiger wie in der nicht-abelschen Eichtheorie, der Homotopiegruppe gibt π 3 ( S 3 ) ?
Aber wie können wir die chirale Verletzung in der U(1)-Theorie direkt sehen, wie wir es in der nicht-abelschen Eichtheorie (über den AS-Indexsatz) gesehen haben, dh direkt den Unterschied zwischen linkshändigen Fermioinc-Nullmodi und rechtshändigen Fermionen sehen Null Modi?
∫ F ∧ F ist ja auch in der topologisch U ( 1 ) Fall. Sie hängt von der ersten Chern-Klasse ab, die eine topologische Invariante ist. Homotopie-Argumente sind eher restriktiv, sie gelten nur für sphärische Raum-Zeit-Mannigfaltigkeiten. Die Kohomologie hingegen besitzt diese Einschränkung nicht. Der angegebene Index ist die Differenz zwischen dem linkshändigen und dem rechtshändigen Weyl-Nullmodus, selbst wenn wir eine vierdimensionale kompakte Mannigfaltigkeit betrachten.
Hat die ABJ-Anomalie für das abelsche Eichfeld ein topologisches Argument?
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