Warum müssen wir die Erweiterungen um alle stationären Punkte der Aktion summieren?

Dies ist in gewisser Weise eine Folgefrage zu meiner vorherigen Frage Warum ist es in Ordnung, den quadratischen Term klein zu halten? ℏ Annäherung? . Ich verstehe, wie wir die Aktion um einen stationären Punkt erweitern können. Auf diese Weise erhalten wir eine semiklassische Erweiterung. Ich habe in Colemans Aspects of Symmetry gelesen, dass "wenn es mehrere stationäre Punkte gibt, muss man im Allgemeinen über alle summieren".

Ich sehe nicht warum. Ich meine, wir können die Expansion immer um den stationären Punkt unserer Wahl machen, nicht wahr? Warum müssen wir alle Erweiterungen summieren?

Das Pfadintegral wird über alle Pfade gebildet. Wenn Sie die nicht stationären Teile als nicht beitragend wegwerfen, bleibt eine Summe über stationäre Pfade übrig.

Antworten (1)

  1. Ein Pfadintegral ist im Prinzip eine gewichtete Summe über alle möglichen Historien. Ihre genaue mathematische Definition ist im Allgemeinen ein offenes Problem. Ein Wegintegral wird typischerweise als Instantonsumme ausgewertet

    (1) Z   =   ∑ J Z J ,
    wo jedes Instanton ϕ J hat ein Fluktuationspfadintegral
    (2) Z J   :=   ∫ D η   exp ⁡ { ich ℏ S [ ϕ J + η ] }
    das wird als störende Expansion in angesehen ℏ .

  2. Jetzt überlegt OP im Wesentlichen, ob die Instanton-Summe (1) darauf hinausläuft, die Geschichten zu überzählen? Die Antwort ist nein, denn ausgehend von einem Instanton-Sektor sind alle anderen Instantonen nicht-störende Effekte, die nicht mit dem Stör-Fluktuations-Pfad-Integral (2) reproduziert werden können. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Warum müssen wir die Erweiterungen um alle stationären Punkte der Aktion summieren?
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