Können wir vollständige störungsfreie Informationen des interagierenden Systems erhalten, indem wir die Störung aller Ordnungen berechnen?

Question

Können wir vollständige störungsfreie Informationen des interagierenden Systems erhalten, indem wir die Störung aller Ordnungen berechnen?

Physik
nicht störend
stark korreliert
Störungstheorie
mathematisch-physik
Quantenfeldtheorie

Ahorn

Wie wir wissen, ist die Störungsentwicklung der wechselwirkenden QFT oder QM keine konvergente Reihe, sondern eine asymptotische Reihe , die im Allgemeinen divergent ist. Wir können also keine willkürliche Genauigkeit einer Wechselwirkungstheorie erreichen, indem wir eine Ordnung höherer Ordnung berechnen und sie direkt addieren.

Wir wissen jedoch auch, dass wir einige Resummationstricks wie Borel-Summierung , Padé-Approximation usw. verwenden können, um eine divergente Reihe zu summieren, um ursprüngliche nicht störende Informationen wiederherzustellen. Dieser Trick wird häufig bei der Berechnung des kritischen Exponenten von verwendet $\phi^4$ usw.

Meine Fragen:

Obwohl es fast unmöglich ist, Störungen für alle Ordnungen zu berechnen, ist es wahr, dass wir eine beliebige Genauigkeit von interagierenden Systemen (wie QCD) erreichen können, indem wir einfach höhere Ordnungen berechnen und Resummierungstricks wie die Borel-Summierung anwenden?
Stimmt es, dass im Prinzip auch nicht-störende Informationen wie Instanton und Vortex mit den oben genannten Methoden erreicht werden können?

Es gibt ein handfestes Beispiel: $0$ -dim $\phi^4$ Theorie,

Z (G) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D X}{\sqrt{2 π}} e^{- X^{2} / 2 - G X^{4} / 4}

$Z(g)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2 -gx^4/4}$ Aus der Definition von

Z (g)

$Z(g)$ über,

Z (g)

$Z(g)$ muss eine endliche Zahl für sein

g > 0

$g>0$ .

Wie üblich können wir dies perturbativ berechnen,

\begin{matrix} (1) & Z (G) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D X}{\sqrt{2 π}} e^{- X^{2} / 2} \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N!} (- G X^{4} / 4)^{N} \sim \sum_{N = 0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D X}{\sqrt{2 π}} e^{- X^{2} / 2} \frac{1}{N!} (- G X^{4} / 4)^{N} \end{matrix}

$Z(g)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-gx^4/4)^n \sim \sum_{n=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \frac{1}{n!}(-gx^4/4)^n \tag{1}$

Hinweis: Im Prinzip können wir ganzzahlige und unendliche Summierung nicht vertauschen. Deshalb ist die asymptotische Reihe divergent.

\begin{matrix} (2) & Z (G) \sim \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{(- G)^{N} (4 N)!}{N! 16^{N} (2 N)!} \end{matrix}

$Z(g)\sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-g)^n (4n)!}{n!16^n (2n)!} \tag{2}$ Es ist eine divergente asymptotische Reihe.

Auf eine andere Art, $Z(g)$ direkt analytisch lösbar,

\begin{matrix} (3) & Z (G) = \frac{e^{\frac{1}{8 G}} K_{1 / 4} (\frac{1}{8 G})}{2 \sqrt{π G}} \end{matrix}

$Z(g)= \frac{e^{\frac{1}{8g}}K_{1/4}\left(\frac{1}{8g}\right)}{2\sqrt{\pi g}} \tag{3}$ Wo

K_{n} (x)

$K_n(x)$ ist die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art . Das sehen wir offensichtlich

Z (g)

$Z(g)$ ist endlich für

g > 0

$g>0$ Und

g = 0

$g=0$ ist eine wesentliche Singularität.

Wir können jedoch die exakte Lösung wiederherstellen $(3)$ von Borel Wiederaufnahme divergenter asymptotischer Reihen $(2)$

Berechnen Sie zuerst die Borel-Transformation,

B (G) = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{(- G)^{N} (4 N)!}{(N!)^{2} 16^{N} (2 N)!} = \frac{2 K (\frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 G}}{2 \sqrt{1 + 4 G}})}{π (1 + 4 G)^{1 / 4}}

$B(g)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-g)^n (4n)!}{(n!)^216^n (2n)!} = \frac{2K\left(\frac{-1+\sqrt{1+4g}}{2\sqrt{1+4g}}\right)}{\pi (1+4g)^{1/4}}$ Wo

K (x)

$K(x)$ ist das vollständige elliptische Integral erster Art .

Berechnen Sie dann die Borel-Summe

\begin{matrix} (4) & Z_{B} (G) = \int_{0}^{\infty} e^{- T} B (G T) D T = \frac{e^{\frac{1}{8 G}} K_{1 / 4} (\frac{1}{8 G})}{2 \sqrt{π G}} \end{matrix}

$Z_B(g)=\int_0^{\infty}e^{-t}B(gt)dt=\frac{e^{\frac{1}{8g}}K_{1/4}\left(\frac{1}{8g}\right)}{2\sqrt{\pi g}} \tag{4}$

Z_{B} (G) = Z (G)

$Z_B(g) = Z(g)$

Wir sehen konkret, dass wir die exakte Lösung aus divergenten asymptotischen Reihen wiederherstellen können, indem wir den Trick der Borel-Resummierung anwenden.

Benutzer178876

Die Antwort ist nein. Zumindest, wenn Sie die Standard-Störungstheorie meinen. Führen Sie einfach eine Taylor-Entwicklung von durch

\exp (- 1 / g^{2})

$\exp(-1/g^2)$ um

g = 0

$g=0$ um zu sehen warum.

Ahorn

@marmot Es ist keine Taylor-Erweiterung, sondern eine asymptotische Erweiterung. Sie können dieses Ergebnis durch Resummieren erhalten

Ahorn

@marmot Sie können das Beispiel meiner aktualisierten Version sehen.

AccidentalFourierTransform

verwandt: Nicht-perturbative Feynman-Diagramme? .

AccidentalFourierTransform

Beachten Sie auch, dass die Borel-Resummierung Mehrdeutigkeiten enthält, wenn die Borel-Transformation Singularitäten entlang der positiven reellen Achse enthält (was normalerweise der Fall sein kann).

AccidentalFourierTransform

@maplemaple Bitte hören Sie auf, triviale Änderungen vorzunehmen, um die Frage auf die Titelseite zu bringen. Danke schön.

Colin MacLaurin

Analogie aus einem anderen Bereich: Die "Post-Newtonsche Theorie" nähert sich der Allgemeinen Relativitätstheorie durch Erweiterungen auf verschiedene Ordnungen an. Christodoulou hat jedoch bewiesen, dass es nicht konvergiert (wie von Piotr Chrusciel zitiert)! Doch es scheint in der Praxis zu funktionieren, und ein Experte – Eric Poisson – ist nicht besorgt. Quelle: Sommerschule "Domoschool: Einstein Equations - Physical & Mathematical Aspects", 2018

Nikita

Können Sie erklären, wie die Borel-Summe berechnet wird? Oder Referenzen nennen?

Ahorn

@Nikita Sie können das Wiki sehen: en.wikipedia.org/wiki/Borel_summation#Definition First compute

B A (t)

$\mathcal{B}A(t)$ , dann Integral berechnen

Nikita

@maplemaple danke. Ich verstehe, was Borel-Summierung ist. Ich verstehe nicht, wie man das vollständige elliptische Integral der ersten Art erhält und die umgekehrte Laplace-Transformation des elliptischen Integrals berechnet.

Ahorn

@Nikita Es kann von Mathematica analytisch berechnet werden

Antworten (2)

Können wir vollständige störungsfreie Informationen des interagierenden Systems erhalten, indem wir die Störung aller Ordnungen berechnen?

Die Antwort ist nein. Zumindest, wenn Sie die Standard-Störungstheorie meinen. Führen Sie einfach eine Taylor-Entwicklung von durch $\exp(-1/g^2)$ um $g=0$ um zu sehen warum.
@marmot Es ist keine Taylor-Erweiterung, sondern eine asymptotische Erweiterung. Sie können dieses Ergebnis durch Resummieren erhalten
@marmot Sie können das Beispiel meiner aktualisierten Version sehen.
Beachten Sie auch, dass die Borel-Resummierung Mehrdeutigkeiten enthält, wenn die Borel-Transformation Singularitäten entlang der positiven reellen Achse enthält (was normalerweise der Fall sein kann).
@maplemaple Bitte hören Sie auf, triviale Änderungen vorzunehmen, um die Frage auf die Titelseite zu bringen. Danke schön.
Analogie aus einem anderen Bereich: Die "Post-Newtonsche Theorie" nähert sich der Allgemeinen Relativitätstheorie durch Erweiterungen auf verschiedene Ordnungen an. Christodoulou hat jedoch bewiesen, dass es nicht konvergiert (wie von Piotr Chrusciel zitiert)! Doch es scheint in der Praxis zu funktionieren, und ein Experte – Eric Poisson – ist nicht besorgt. Quelle: Sommerschule "Domoschool: Einstein Equations - Physical & Mathematical Aspects", 2018
Können Sie erklären, wie die Borel-Summe berechnet wird? Oder Referenzen nennen?
@Nikita Sie können das Wiki sehen: en.wikipedia.org/wiki/Borel_summation#Definition First compute $\mathcal{B}A(t)$ , dann Integral berechnen
@maplemaple danke. Ich verstehe, was Borel-Summierung ist. Ich verstehe nicht, wie man das vollständige elliptische Integral der ersten Art erhält und die umgekehrte Laplace-Transformation des elliptischen Integrals berechnet.

Arnold Neumaier · Answer 1

Die Störungstheorie liefert für die Lösung eine asymptotische Reihe in der Kopplungskonstante $g$ . Es gibt unendlich viele Funktionen mit derselben asymptotischen Reihe, da zum Beispiel eine Funktion von hinzugefügt wird $e^{-c/g^2}$ das Verschwinden bei Null ändert die asymptotische Reihe nicht.

Somit liefert die Störungsreihe im Allgemeinen keine vollständige Störungsinformation. Jedes Summationsverfahren muss zusätzliche Annahmen über die Lösung treffen; es wird die Reihe korrekt fortsetzen, wenn diese Annahmen erfüllt sind, aber im Allgemeinen nicht anders.

In vielen Spielzeugfällen kann man beweisen, dass die Annahmen von Watsons Summationssatz von Borel bewiesen werden können; dann funktioniert die Borel-Summierung. Es ist jedoch bekannt, dass es in anderen Fällen nicht funktioniert, zB bei (häufigem) Vorhandensein von Renormalonen.

In der 4D-relativistischen Quantenfeldtheorie ist von keinem Resummationsverfahren bekannt, ob es funktionieren wird. Die leistungsfähigste Resummationstechnik, basierend auf wiederauflebenden Transserien, ist am vielversprechendsten.

Ryan Thorngren · Answer 2

Nach meinem Verständnis ergibt die Summe bis zum kleinsten Term in einer asymptotischen Reihe eine exponentiell gute Genauigkeit, aber nicht mehr. Der exponentiell kleine Fehlerterm kann in einigen Fällen auf die topologischen Sektoren zurückgeführt werden.
Wenn wir die Borel-Resummierung durchführen, gibt es ein Phänomen namens "Wiederaufleben", bei dem diese Exponentialterme in Reihen auftreten, die genauso aussehen wie die "Vakuum" -Störungsreihe, aber mit einem Vorfaktor wie $e^{-S_0/g^2}$ Wo $S_0$ wird als Instanton-Aktion interpretiert. Die Liste der Beispiele dafür wird täglich länger. Siehe zum Beispiel dieses Papier (und diejenigen, die darauf verweisen): https://arxiv.org/abs/1210.2423 . Vermutlich, nachdem Sie die Serie wieder aufgenommen haben, konvergiert sie zu einer genauen Antwort, zumindest in Fällen mit Wiederaufleben. Ich kenne aber keine Theoreme.

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Ahorn

Benutzer178876

Ahorn

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AccidentalFourierTransform

AccidentalFourierTransform

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Colin MacLaurin

Nikita

Ahorn

Nikita

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Antworten (2)

Arnold Neumaier

Ryan Thorngren

Gibt es einen Beweis dafür, dass jedes Ergebnis der Störungstheorie notwendigerweise eine asymptotische Reihe ist?

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