Was bedeutet eine nicht-störungstheoretische Theorie?

Eine störungsfreie Theorie bedeutet eine Theorie, bei der alle Ergebnisse im Prinzip mit beliebiger Genauigkeit auf einem Computer berechnet werden können. Das ist wirklich genau dasselbe wie eine gut definierte Theorie, eine Theorie, die mathematisch in Ordnung ist und Sinn macht, die bei einer hohen Energie oder bei Messungen mit einer hohen Genauigkeit nicht in irgendeiner Weise unvollständig ist.

Ein Beispiel für eine gut definierte nicht-störungstheoretische Theorie ist die QCD, bei der Sie die Theorie auf ein Raum-Zeit-Gitter setzen, auf einem Computer simulieren und die Grenze einer kleinen Gittergröße nehmen können, um alle Vorhersagen der Theorie zu extrahieren (im Prinzip --- dies ist eine schwierige Rechenaufgabe). Die Grenze ist nicht einfach, Sie müssen das Gitter kleiner machen und die Kopplungen so anpassen, dass die physikalischen Massen fest bleiben, aber das Verfahren ist (nach physikalischen Maßstäben der Strenge) bekannt, um in der Grenze kleiner Gitter zu etwas Vernünftigem zu konvergieren .

Eine Störungstheorie bedeutet eine Theorie, bei der Sie mit einer Annäherung beginnen, dass Partikel nicht interagieren, und die Partikelwechselwirkungen hinzufügen, indem Sie sie ein wenig streuen lassen, dann die Streuung der gestreuten Partikel korrigieren und dann die Streuung der doppelten korrigieren -gestreute Partikel, und so weiter. Dies ist die bequemste Berechnungsmethode, daher werden die meisten Theorien auf diese Weise formuliert. Aber es gibt ein Problem, dass die Streuung der gestreuten Teilchen, die selbst Streuprodukte usw. sind, eine unendliche Summierung erfordert, und die Summierung ist divergent, sie erzeugt nur Ergebnisse, die für eine Weile besser werden, wenn Sie mehr Streuungen einbeziehen , dann beginnen die von Ihnen berechneten Ergebnisse bei ausreichend hoher Ordnung (genügend Rescattering-Prozesse) von der richtigen Antwort wegzulaufen und zu divergieren.

Dies sieht zunächst nach einem rein mathematischen Ärgernis aus, das durch eine bessere Methode zum Summieren unendlicher Reihen behoben werden kann. Aber es ist nicht rein mathematisch, es hat eine physikalische Interpretation. Stellen Sie sich eine Theorie mit einer Art von Skalarteilchen vor, die an sich selbst streuen kann. Diese Theorie kann perturbativ mit einer Streurate ungleich Null formuliert werden, aber wenn Sie sie auf ein Gitter setzen, wenn Sie die Gittergröße auf Null bringen, schirmen sich die aus dem Vakuum in kleinen Abständen erzeugten Skalarteilchen gegenseitig davon ab, die Wechselwirkung zu spüren, und das lässt die Streurate bei großen Entfernungen auf Null sinken. Auch dies ist nur in physikalischer Genauigkeit bekannt. Die Störungstheorie mit einer Streurate ungleich Null macht also wirklich keinen Sinn, sie bricht zusammen, wenn die Gittergröße klein genug ist.

Es gibt eine Möglichkeit, den Landau-Pol in der Skalarfeldtheorie qualitativ zu verstehen, die mathematisch genau vorhersagt, wie die Wechselwirkung verschwindet. Wenn Sie ein Gitter erstellen und einen zufälligen Spaziergang auf dem Gitter zeichnen (markieren Sie einen Punkt, bewegen Sie sich zufällig zu einem der Nachbarn und markieren Sie diesen Punkt und markieren Sie weiter einen zufälligen Pfad), dann schneiden sich zwei solcher Spaziergänge mit einer Wahrscheinlichkeit das geht immer auf Null, wenn Sie das Gitter in 4-dimensionalen Gittern feiner machen. In weniger als 4 Dimensionen können sich die Teilchen finden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teilchen einander finden, geht mit dem Gitterabstand hoch 4-d auf Null, also auf 0 für 5,6,7 Dimensionen, auf einen endlichen Wert in 1,2,3 Dimensionen und in 4 Dimensionen braucht man eine bessere Analyse, und da geht es als Logarithmus des Gitterabstandes auf Null. Dies bedeutet, dass, wenn Sie Partikel finden, um miteinander zu interagieren, in 4 Dimensionen sich zufällig bewegende Partikel nur in dem Maße finden können, in dem die Gittergröße nicht Null ist. Wenn Sie Punktteilchen sehen, die durch Selbstüberschneidung interagieren (wie das Higgs-Boson im Standardmodell), können Sie anhand der beobachteten Wechselwirkung vorhersagen, dass das Gitter größer als ein bestimmter Betrag sein muss. Diese Größe ist in der Kopplung exponentiell winzig, und für die Higgs-Wechselwirkungen des Standardmodells (wobei die Masse und die Kopplungen der Higgs jetzt bekannt sind) ist sie viel kleiner als die Planck-Länge. Wenn Sie Punktteilchen sehen, die durch Selbstüberschneidung interagieren (wie das Higgs-Boson im Standardmodell), können Sie anhand der beobachteten Wechselwirkung vorhersagen, dass das Gitter größer als ein bestimmter Betrag sein muss. Diese Größe ist in der Kopplung exponentiell winzig, und für die Higgs-Wechselwirkungen des Standardmodells (wobei die Masse und die Kopplungen der Higgs jetzt bekannt sind) ist sie viel kleiner als die Planck-Länge. Wenn Sie Punktteilchen sehen, die durch Selbstüberschneidung interagieren (wie das Higgs-Boson im Standardmodell), können Sie anhand der beobachteten Wechselwirkung vorhersagen, dass das Gitter größer als ein bestimmter Betrag sein muss. Diese Größe ist in der Kopplung exponentiell winzig, und für die Higgs-Wechselwirkungen des Standardmodells (wobei die Masse und die Kopplungen der Higgs jetzt bekannt sind) ist sie viel kleiner als die Planck-Länge.

Es wird vermutet, dass der gleiche Effekt, das Verschwinden der Fernstreurate oder ein "Landau-Pol", in der Quantenelektrodynamik und im Standardmodell auftritt (aufgrund der Higgs-Selbstwechselwirkung und auch der U (1) -Eichgruppe). ). Niemand macht sich darüber Gedanken, denn die Streuung geht nur als Logarithmus der Gittergröße gegen Null, sodass das Gitter, in dem Sie Probleme bekommen, kleiner als die Planck-Skala ist. Die Störungsannäherung ist dann in Ordnung, da sie keine auf dem Kontinuum definierte Theorie annähert, sondern etwas anderes annähert, das bei hohen Energien übernimmt.

Wenn wir eine Differentialgleichung zu lösen haben, werden wir idealerweise versuchen, sie analytisch zu lösen. Finden Sie explizite Funktionen, die die Variablen codieren. Die Lösungen für einen harmonischen Oszillator zum Beispiel. Die Lösungen eines Potentials in der Schrödingergleichung. Dies sind Beispiele für nicht störungsfreie Lösungen. Sie erfüllen die Differential- (oder Integral-) Gleichungen.

Einige Lösungen können jedoch nur als Erweiterung in einer Summe von Begriffsreihen gefunden werden; Wenn jeder höhere Term kleiner als der vorherige ist und die Reihe nachweislich konvergiert, ist dies eine ebenso gültige Lösung, wobei höhere Terme hinzugefügt werden, wenn mehr Genauigkeit erforderlich ist. Bei alltäglichen Problemen sind diese nützlich, um sie numerisch zu programmieren und die Antwort zu erhalten.

In der Teilchenphysik wird dies in einer „Störungsausdehnung“ kodifiziert, die aus der „ Störungstheorie “ stammt. Zunächst wurde angenommen, dass die einer Theorie hinzugefügten Potentiale die freien Systemlösungen, also die Nomenklatur, stören. Es führte zur Feynman-Diagrammformulierung von Wirkungsquerschnitten für wechselwirkende Teilchen.

Nicht störend sollte also eine saubere analytische Lösung bedeuten. Es hängt dann vom Kontext ab, in dem der Begriff verwendet wird.