Ist Renormierbarkeit nur ein Problem der Störungstheorie?

Die Renormierung geht über das einfache Entfernen von Unendlichkeiten aus einer Berechnung hinaus; Es gibt einen Grund dafür, dass dieses Problem überhaupt auftritt, und zwar die Tatsache, dass sich die Kopplung mit dem Maßstab ändert.

Tatsächlich hängen im Wesentlichen alle Parameter einer Theorie in irgendeiner Weise von der Energieskala eines betrachteten Prozesses ab, wie beispielsweise auch die Massen. Die Abhängigkeit und die Art und Weise, wie sich die Theorie bei Skalenänderungen verhalten wird, ist im Renormierungsgruppenfluss kodiert.

Es gilt auch nicht einfach für eine bestimmte Ordnung in der Störungstheorie. Es wurde mit vielen anderen Theorien nicht erreicht, aber für Super-Yang-Mühlen haben wir die genaue Beta-Funktion,

$$\beta(\alpha) = -\frac{\alpha^2}{2\pi} \left[3T_G - \sum_i T(R_i) (1-\gamma_i)\right] \left(1-\frac{T_G\alpha}{2\pi} \right)^{-1}$$

abhängig von einigen gruppentheoretischen Parametern, aufgrund von Novikov et al. Daher können wir theoretisch die genaue Änderung der Kopplungskonstante vorhersagen, wenn wir von einer Energieskala zur anderen wechseln, und dies ist als etwas Physikalisches zu verstehen, nicht als Berechnungswerkzeug - wir würden beobachten, dass die Kopplung tatsächlich im Experiment anders ist.

Nun könnte man argumentieren, dass, da dieses Problem über der Kopplungskonstante liegt, möglicherweise eine gewisse Willkür damit verbunden ist, mit der perturbativen Methode, wie Sie sagen. Die Kopplung wurde jedoch nicht künstlich als „kleiner“ Parameter eingeführt, um Störungstheorie betreiben zu können, der Begriff der Kopplung geht auf die klassische Mechanik zurück, und sie ist nicht künstlich eingefügt, sondern eine Notwendigkeit, soweit wir wissen beschreibe die Theorie.

Nein, ist es nicht. Renormierbarkeit ist grundsätzlich eine Möglichkeit, die QFT auf kontinuierlicher Raumzeit zu definieren, da Fern- und Kurzstreckenphysik entkoppelt sind.

UV-Divergenzen, die eigentlich UV-Mehrdeutigkeiten sind, sind eine allgemeine Folge der naiven Definition der QFT auf der kontinuierlichen Raumzeit. Wenn Sie beispielsweise versuchen, den nicht-perturbativen Hamiltonoperator in die Wechselwirkungstheorie zu schreiben, werden sie als Potenzen von auftreten$\delta$-Funktionen, die schlecht definierte Objekte sind. In ähnlicher Weise können Sie versuchen, das Pfadintegral zu definieren, und feststellen, dass es Mehrdeutigkeiten in der Definition des Maßes gibt. Sie können ihre Definition auf unendlich viele Arten vervollständigen, die der Regularisierungsfreiheit der kontinuierlichen Raumzeiten entsprechen. Im Allgemeinen verschwindet diese Mehrdeutigkeit nicht und Sie müssen unendlich viele Parameter einführen.

Zum Beispiel können Sie ein Gitter einführen und eine Theorie über das Gitter quantisieren. Wenn Sie jedoch die kontinuierliche Grenze berücksichtigen, gibt es absolut keine Garantie dafür, dass Ihr Modell alle Details des Gitters vergisst (z. B. war es rechteckig oder sechseckig usw.). Moreso, im Allgemeinen wird es nicht vergessen.

Wenn Sie jedoch RG-Ströme betrachten, kommt es vor, dass sich einige von ihnen im IR in der Nähe bestimmter endlichdimensionaler Unterräume des Theorieraums konzentrieren. QFTs, die diesen endlichdimensionalen Unterräumen entsprechen, vergessen also alle Details über UV mit Ausnahme der endlichen Anzahl von Parametern. Das sind renormierbare Theorien.