Warum wird der endliche Teil der Eigenenergie oft vernachlässigt, um die physische Masse zu definieren?

Warum wird der endliche Term oft vernachlässigt?

Der endliche Term wird NICHT vernachlässigt. Vielmehr könnte es durch einen Gegenbegriff aufgefangen werden. Wenn in Ihrem Lehrbuch nur „Vernachlässigung des endlichen Begriffs“ steht, sollten Sie das Buch sofort wegwerfen und eine Rückerstattung verlangen.

Den endlichen Teil durch den Zählerterm aufzuheben oder nicht aufzuheben, macht den ganzen Unterschied zwischen der modifizierten minimalen Subtraktion ($\bar{MS}$) und minimale Subtraktion ($MS$) Schemata. Es ist nur eine menschliche Konvention, die keine physikalischen Auswirkungen hat.

Wenn es um einen Gegenbegriff geht, ist unten die Faustregel,

• Es muss lokal sein, was bedeutet, dass es keine zusätzliche Impulsabhängigkeit gibt, außer der, die durch den ursprünglichen Lagrange-Term vorgeschrieben ist.
• Es muss sich um alle Divergenzen kümmern, was bedeutet, dass der divergente Teil fest ist und der endliche/nicht divergente Teil auf jeden beliebigen Wert eingestellt werden kann.

Dies ist die Philosophie hinter der Renormalisierung: Man hat eine Lagrange-Funktion$\mathcal{L}(g_i)$Wo$g_i$,$i=1,\ldots,N$sind einige Kopplungen (ich stelle mir die Masse einfach als eine weitere Kopplung vor). Und dann eine Maschinerie, die als Input dient$\mathcal{L}(g_i)$und gibt einige Observables aus$\Gamma^{(n)}(g_i;p_j)$, die typischerweise Korrelationsfunktionen oder Streuamplituden ($p_j$die externen Impulse sind). Diese Maschinerie besteht in der Berechnung von Feynman-Diagrammen .

Die Experimente sind in der Lage, das zu beheben$\Gamma$'s für irgendeine Konfiguration der äußeren Impulse, könnte man zum Beispiel sagen

$$\Gamma^{(n)}(g_i;p_j)|_{p_j\to \mu} = \tilde{g}_n\,,\quad n=1,\ldots,N \,.$$ Wo$\tilde{g}_n$ist nur eine durch Experimente gegebene Zahl. Was wir also tun wollen, ist, die zu optimieren$g_i$damit wir das gewünschte Ergebnis bekommen. Wie wir wissen, ist die Antwort nach der Regularisierung der Theorie etwas von der Form $$\tilde{g}_n = f_n^{(0)}(g_i) + \frac{f_n^{(1)}(g_i)}{\varepsilon} + \frac{f_n^{(2)}(g_i)}{\varepsilon^2} + \cdots\,,$$ bei dem die$f_n^{(l)}$sind einige endliche Funktionen der Kopplungen. Für alle$\varepsilon>0$das behebt die$N$Kupplungen$g_i$in Bezug auf die$N$beobachtbar$\tilde{g}_n$und wir könnten es einfach dabei belassen. Der$g_i$sind Funktionen$g_i(\varepsilon,\tilde{g}_n)$und sie können der Lagrange-Funktion zugeführt werden, die wiederum andere Observablen produziert und sie in Bezug auf die vorherigen bestimmt$N$Versuche wie folgt $$\Gamma^{(m)}(g_i(\varepsilon,\tilde{g}_n);p_j)|_{p_j\to \mu} = \tilde{g}_m(\tilde{g}_n)\,,\quad m\neq1,\ldots,N\,.$$ Entscheidend ist, dass die$\varepsilon$Die Abhängigkeit verschwindet am Ende, aber dafür sorgt das Theorem der Potenzzählung in der Renormierungstheorie.

Ich sagte, dass wir es dabei belassen könnten, denn das ist alles, was wir von einer Theorie brauchen, wir wollen, dass sie unendlich viele Experimente vorhersagt, von denen aus$N$davon als Input. Aus praktischen Gründen ist es jedoch besser, den divergenten Teil ein für alle Mal zu berechnen$g_i(\varepsilon,\tilde{g}_n)$und drücke es aus als

$$g_i(\varepsilon,\tilde{g}_n) = h_i^{(0)}(\tilde{g}_n) + \frac{h_i^{(1)}(g_i)}{\varepsilon} + \frac{h_i^{(2)}(g_i)}{\varepsilon^2} + \cdots\,.$$ Wir wissen, wie der divergierende Teil funktioniert, also konzentrieren wir uns einfach auf das endliche Teil.$h_i^{(0)}(\tilde{g}_n)$nennen wir die renormierte Kopplung. Aber das ist völlig willkürlich, könnten wir auch nennen$h_i^{(0)}(\tilde{g}_n) - 2\pi$die renormierte Kopplung, solange wir angeben, dass der divergierende Teil ist$2\pi + \mathrm{poles}$.

Es tut mir leid, wenn ich mich entschieden habe, nicht auf Ihre spezifischen Fragen einzugehen, sondern Ihnen eine allgemeinere Antwort zu geben.