Welche Beziehung besteht zwischen den JNR-Instantonen und dem BPST-Instanton?

Question

Welche Beziehung besteht zwischen den JNR-Instantonen und dem BPST-Instanton?

Teddy Bäcker

Die JNR-Instantonen sind mit dem t'Hooft-Ansatz verwandt und nehmen die Form an

A = σ_{μ v} \frac{\partial_{v} ρ}{ρ} D X^{μ},

$\begin{equation} A=\sigma_{\mu\nu}\frac{\partial_\nu \rho}{\rho}dx^\mu, \end{equation}$ Wo

ρ

$\rho$ nimmt die Gestalt an

ρ = \sum \frac{λ_{P}}{| X - X_{P} |^{2}} .

$\begin{equation} \rho=\sum \frac{\lambda_p}{\lvert x-x_p\rvert^2}. \end{equation}$ Die Lösung von Belavin et al. nimmt die Form an

A_{μ} = \frac{η_{μ v}^{A} (X - z)_{v}}{(X - z)^{2} + C^{2}},

$\begin{equation} A_{\mu}=\frac{\eta^{a}_{\mu\nu}(x-z)_\nu}{(x-z)^2+c^2}, \end{equation}$ bis auf eine Konstante, wo

η^{a}

$\eta^a$ ist das t'Hooft-Symbol (definiert auf der Wikipedia-Seite https://en.wikipedia.org/wiki/BPST_instanton ). Im Prinzip sollten diese für die One-Instanton-Lösung stimmen, aber ich sehe nicht, inwiefern das der Fall ist. In der singulären Eichung des BPST-Instantons ist noch nicht klar, wie die Beziehung ist.
Ich habe einige der obigen Formeln von Solitons, Instantons und Twistors von Dunajski und von Wikipedia für das BPST-Instanton erhalten.

AccidentalFourierTransform

Nun, zum einen ist die erste eine Lie-Algebra (Matrix) bewertete Einsform und die zweite eine Skalarfunktion. Die Korrespondenz ist also alles andere als einfach. Bist du dir sicher das

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ ist eigentlich kein 't Hooft-Symbol

η_{μ ν}^{a}

$\eta^a_{\mu\nu}$ ?

Teddy Bäcker

Beim zweiten habe ich einen Tippfehler gemacht, also ist es jetzt der Koeffizient einer Lie-Algebra-bewerteten Eins-Form. Sie haben Recht,

η

$\eta$ ist das t'Hooft-Symbol, das ich auch geändert habe. In jedem Fall sind die Formen nicht gleich, aber soweit ich weiß, beschreiben beide grundlegende Instantons.

ACuriousMind

1. Was ist ein "JNR-Instanton"? Sie haben eine Wikipedia-Seite für das BPST-Instanton verlinkt, aber nicht für das JNR-Instanton. 2. Was sind

σ_{μ ν}

$\sigma_{\mu\nu}$ Und

λ_{ρ}

$\lambda_\rho$ ? 3. Sind diese beiden Formeln a) in derselben Spurweite und b) in demselben Fleck (dh um den Ursprung im Gegensatz zu "um die Unendlichkeit")? 4. Haben Sie versucht, die entsprechende Feldstärke zu berechnen und zu sehen, ob es einfacher ist zu sehen, dass beide die gleiche Feldstärke erzeugen, als zu sehen, dass sie Eichäquivalent sind?

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Welche Beziehung besteht zwischen den JNR-Instantonen und dem BPST-Instanton?

Nun, zum einen ist die erste eine Lie-Algebra (Matrix) bewertete Einsform und die zweite eine Skalarfunktion. Die Korrespondenz ist also alles andere als einfach. Bist du dir sicher das $\eta_{\mu\nu}$ ist eigentlich kein 't Hooft-Symbol $\eta^a_{\mu\nu}$ ?
Beim zweiten habe ich einen Tippfehler gemacht, also ist es jetzt der Koeffizient einer Lie-Algebra-bewerteten Eins-Form. Sie haben Recht, $\eta$ ist das t'Hooft-Symbol, das ich auch geändert habe. In jedem Fall sind die Formen nicht gleich, aber soweit ich weiß, beschreiben beide grundlegende Instantons.
1. Was ist ein "JNR-Instanton"? Sie haben eine Wikipedia-Seite für das BPST-Instanton verlinkt, aber nicht für das JNR-Instanton. 2. Was sind $\sigma_{\mu\nu}$ Und $\lambda_\rho$ ? 3. Sind diese beiden Formeln a) in derselben Spurweite und b) in demselben Fleck (dh um den Ursprung im Gegensatz zu "um die Unendlichkeit")? 4. Haben Sie versucht, die entsprechende Feldstärke zu berechnen und zu sehen, ob es einfacher ist zu sehen, dass beide die gleiche Feldstärke erzeugen, als zu sehen, dass sie Eichäquivalent sind?

David Bar Mosche · Answer 1

Das BPST-Instanton ist eine selbstduale Lösung der euklidischen Yang-Mills-Gleichungen mit Instanton-Nummer $1$ . Der 't Hooft-Ansatz verallgemeinert die BPST-Instantonlösung auf Multi-Instantonlösungen mit Instantonzahl $N$ größer als $1$ . Die Lösungsfamilie von 't Hooft hat $5N+3$ freie Parameter, die außer für $N=1$ überspannt nicht das Ganze $8N$ dimensionaler Instantonmodulraum.

Die JNR-Konstruktion ist eine Verallgemeinerung von Jackiw Nohl und Rebbi zu a $5N + 7$ Parameterlösungsraum. Diese Lösungen unterstützen die Wirkung der konformen Gruppe. Für $N=1,2$ Die JNR-Lösung hat mehr Parameter als der Instanton-Modulraum und es kann bewiesen werden, dass sie redundant sind. Für $N\gt 2$ , überspannen diese Lösungen nicht den gesamten Instantonmodulraum.

Eine Lösungsfamilie, die den Instantonmodulraum sättigt, ist durch die ADHM-Konstruktion gegeben.

Dieses Material wird ausführlich in Manton und Sutcliffe (Seiten 418-428) erklärt.

Danke schön. Dennoch sehe ich nicht, wie die t'Hooft-Lösung die BPST-Lösung verallgemeinert, weil sie nicht die gleiche Form annehmen. Gibt es eine Eichtransformation, die die Formeln, die ich oben geschrieben habe, ineinander umwandelt?
Ja, es gibt eine Eichtransformation, wie in der folgenden Vorlesungsnotiz erklärt wird von: Zhong-Zhi Xianyu zzxianyu.files.wordpress.com/2017/01/instantons12_xianyu.pdf

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David Bar Mosche

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