Experimentelle Unterscheidung zwischen topologisch inäquivalenten physikalischen Zuständen in der Eichtheorie

Es gibt viele Beispiele für Eichtheorien mit getrennten Eichgruppen, aber soweit ich weiß, gehen die nicht-trivialen topologischen Sektoren dieser Theorien über die derzeitigen experimentellen Möglichkeiten hinaus.

Damit große Eichtransformationen nicht trivial auf die Zustände einwirken, muss es sich um eine Symmetrie des Hamilton-Operators handeln. Beispielsweise hängt der Maxwell-Hamilton-Operator nur von den elektrischen und magnetischen Feldern ab. Im flachen Raum das elektromagnetische$U(1)$Eichgruppe ist verbunden, daher gibt es keine großen Eichtransformationen. Wenn jedoch geeignete Randbedingungen gegeben sind, beispielsweise periodische Randbedingungen in einer Richtung, dann existieren große Eichtransformationen und sind Symmetrien des Hamilton-Operators.

Im Gegensatz dazu ist der Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens, das sich unter dem Einfluss eines elektromagnetischen Hintergrundfelds bewegt, nur quasi-invariant, nur wenn die Eichtransformation auch auf die Wellenfunktionen durchgeführt wird, bleibt das Spektrum erhalten. In diesem Fall müssen große Eichtransformationen eher als Eichredundanzen denn als Symmetrie betrachtet werden. (Allerdings hat ein Gas solcher Teilchen einen unveränderlichen zweiten quantisierten Hamilton-Operator, aber ich weiß nicht, wie ich diese Tatsache ausnutzen soll).

Dies ist der Grund, warum das Aharonov-Bohm-System eines Teilchens, das sich auf einem Kreis um einen magnetischen Fluss bewegt, keine großen Eichsymmetrien besitzt, obwohl die elektromagnetische Eichgruppe getrennt ist, weil$\pi_1(U(1)) = \mathbb{Z}$.

Was ich Ihnen hier beschreiben werde, ist ein (ziemlich geniales) Experiment, das von S.-R. Erich Yang . Er schlug eine Modifikation der Aharonov-Bohm-Einstellung vor, um entartete Energieeigenfunktionen einzuführen, die durch eine große Eichtransformation zusammenhängen. Dieses Experiment scheint machbar zu sein, aber aus einer Google-Gelehrten-Suche geht hervor, dass dieses Experiment noch nicht tatsächlich durchgeführt wurde.

Der Trick besteht darin, ein Spin-Halbteilchen zu verwenden und ein elektrisches Feld in radialer Richtung hinzuzufügen, um eine Spin-Bahn-Wechselwirkung zu erzeugen (proportional zu:$\vec{\sigma} \cdot \left (\vec{p} – i e \vec{A} \right )$). Der Spin-Orbit-Term unterbricht die Zeitumkehrinvarianz, aber Yang bemerkte, dass das Aharonov-Bohm-Potential gleich einem halben Flussquant ist$A_{\phi} = \frac{1}{2}$, dann werden sowohl der kinetische als auch der Eichbahnwechselwirkungsterm unter der großen Eichtransformation invariant$e^{i\phi}$(was das Eichpotential um ein Quant verschiebt), gefolgt von einer Zeitumkehrtransformation. Somit ist diese Transformation eine Symmetrie des Hamiltonoperators. Als Folge gibt es zwei entartete Zustände mit entgegengesetztem Spin, die durch die obige Transformation in Beziehung stehen. Diese beiden Zustände sollten anhand ihrer Berry-Phasen unterschieden werden können.

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Ich verwende den Begriff Eichgruppe für die Gruppe aller Eichtransformationen (einschließlich kleiner und großer Eichtransformationen). In unserem Fall ist es nicht die eindimensionale Gruppe$U(1)$von globalen Eichtransformationen, sondern die unendliche Gruppe$\mathrm{Map}(S^1, U(1))$von lokalen Pegeltransformationen. Diese Gruppe ist getrennt. Ihr getrennter Teil modulo ist die verbundene Komponente (die die Gruppe der großen Spurtransformationen bildet).$\pi_1(S^1)= \mathbb{Z}$durch Transformationen des Typs realisiert$e^{i n \phi}$für Ganzzahl$n$. Dies ist im Wesentlichen dieselbe Messgerätegruppe, die von Landsman und Wren in meiner Antwort auf die angehängte Frage im Haupttext angesprochen wurde (in ihrem Fall ist dies der Fall$\mathrm{Map}(S^1, U(n))$, aber da für$G$halbeinfach und ohne Mitte$\pi_1(G)= 0$, also nur die$U(1)$Teil von$U(n)$trägt zu den großen Spurwechseln bei.

Wie ich in meiner Antwort auf Friedrichs Kommentar in der beigefügten Frage betonte; Die Gruppe der getrennten Elemente von der Einheitskomponente (modulo verbundene Komponente) ist die grundlegende Definition der Transformation großer Spurweiten. Es ist wahr, dass, wenn Sie Kugeln als Ein-Punkt-Kompaktifizierungen flacher Räume beschreiben, die großen Spurtransformationen zu solchen werden, die sich der Einheit im Unendlichen nicht nähern. Sie können diese Übung für unseren Fall durchführen, indem Sie ausdrücken$S^1$als Ein-Punkt-Verdichtung von$\mathbb{R}$.

Der Hamilton-Operator des Aharonov-Bohm-Systems ist bei Transformationen mit großer Spurweite nicht invariant, da die Theorie nur quasi-invariant und nicht vollständig invariant ist. Dies kann leicht durch direkte Substitution überprüft werden.

Eine Symmetrie der Theorie ist eine Transformation, die mit dem Hamilton-Operator pendelt, ohne auf die Wellenfunktionen einzuwirken. Ich habe das nur betont, um zu sagen, dass das AB-System unter großen Eichtransformationen nicht invariant ist.

Ihr letzter Kommentar fasst die Unterscheidung zwischen Symmetrie und Redundanz richtig zusammen.