Warum nicht alle Umbauten auf großen Spurweiten als echt ansehen?

Eine große Spurtransformation ist eine Spurtransformation, die nicht mit der Identität verbunden ist. Bei der Quantisierung einer Eichtheorie müssen wir Konfigurationen annehmen, die durch gewöhnliche Eichtransformationen verwandt sind, um denselben physikalischen Zustand darzustellen, aber es ist nicht eindeutig, ob große Eichtransformationen als echte Eichtransformationen betrachtet werden sollten.

Zum Beispiel verdichtet die typische Behandlung von Yang-Mühlen den Raum S 3 , und findet mehrere vacua | N ⟩ die nur durch große Spurtransformationen zusammenhängen. Da Instantons ein Tunneln zwischen ihnen ermöglichen, ist das physikalische Vakuum a θ -Vakuum der Form

| θ ⟩ = ∑ N e ich N θ | N ⟩ .
E. Weinberg präsentiert jedoch in seinem Buch Classical Solutions in Quantum Field Theory eine andere Sichtweise , mit weiteren Einzelheiten in diesem Artikel . Angenommen, man arbeitet in einem Messgerät, zwischen dem eine Eins-zu-eins-Entsprechung besteht F μ v Und A μ , z.B
A 3 = 0 , A 2 | z = 0 = 0 , A 1 | j = z = 0 , A 0 | X = j = z = 0 = 0.
Hier gibt es keine Eichfreiheit, weil nur die erste Bedingung geht z -unabhängige Spurtransformationen, dann verlässt nur die zweite z -unabhängig u j -unabhängige Eichtransformationen und so weiter. Daher gibt es ein einzigartiges Vakuum, entsprechend A μ = 0 , und so etwas wie ein gibt es nicht θ -Vakuum. Der Schlüssel hier ist, dass die Einrichtung dieses Messgeräts große Messgerättransformationen erfordert, sodass Weinberg sie implizit als Nichtstun-Operationen betrachtet.

Obwohl sich diese Formulierung von der üblichen unterscheidet, scheint sie alle die gleichen physikalischen Vorhersagen zu geben. Zum Beispiel existieren immer noch Instantonen, aber sie tunneln Ereignisse von einem Vakuum zu sich selbst, analog zu einem Pendel, das sich um eine volle Umdrehung dreht. Die beobachtbaren Effekte von Instantonen, wie z. B. die Verletzung der Baryonenzahl, gelten genauso gut. Der θ -Begriff von QCD muss nicht durch die induziert werden θ Vakuum, kann aber einfach in die Lagrangedichte eingesetzt werden, da es die Symmetrien zulassen.

Daher scheinen wir für Yang-Mills nichts zu verlieren, wenn wir alle Transformationen großer Spurweiten als Nichtstun-Operationen betrachten, und wir gewinnen an Einfachheit und Klarheit. Gibt es Nachteile? Gibt es insbesondere eine messbare Größe, die Weinbergs Formalismus falsch machen würde, und die häufigere richtig? Allgemeiner gesagt, warum modifizieren wir nicht immer durch Transformationen mit großen Messgeräten?

Ich kenne die Geschichte nicht, aber hier ist meine Perspektive. Man kann die Instantonzahl nur durch eine lokale Transformation ändern, die sich herumwindet G bei unendlich. Bei der Quantisierung von Theorien zu nicht kompakten Mannigfaltigkeiten fordern wir, dass Eichtransformationsparameter zu konstanten (oder im Fall höherer Symmetrie flachen) Parametern tendieren. Die Invarianz unter diesen Eichtransformationen stellt sicher, dass die hereinkommende Ladung gleich der herauskommenden Ladung ist. Wenn Sie die Eichinvarianz unter lokalen Transformationen im Unendlichen erzwingen, gibt es keine Möglichkeit, die zu berechnen S -Matrix zwischen geladenen Zuständen.
@ RyanThorngren Ich denke, das ist ein orthogonales Problem. Die großen Transformationen, die ich hier betrachte, sind im Unendlichen konstant, sie sind nur nicht kontinuierlich mit der Identität verbunden. Alles, was ich gesagt habe, bezog sich wirklich implizit auf den verdichteten Raum, wo man immer noch viele Vakuen bekommt, wenn man nicht durch große Spurtransformationen modifiziert, und ein einzigartiges Vakuum, wenn man es tut.
Entweder man studiert Transformationen weiter R 4 die sich ins Unendliche winden oder solche mit einer Singularität bei der Einpunktverdichtung. So oder so, es gibt keine Gauge-Transformation, die Sie zwischen Instanton-Sektoren führt. Und jetzt bin ich verwirrt von dem, was Sie sagen, weil es keine nicht trivialen gibt S U ( N ) Bündel an S 3 .
@RyanThorngren Ich glaube, wir haben eine Verwechslung zwischen vacua (on R 3 , möglicherweise verdichtet zu S 3 ) und Instantonen (on R 4 , möglicherweise verdichtet zu S 4 ). Im Standardbild ist es für keine Eichtransformation, ob groß oder klein, möglich, die Instantonzahl zu ändern, aber große Eichtransformationen können zwischen den Vakua stattfinden. In Weinbergs Bild werden die Vakuen alle als ein Zustand identifiziert, aber Instantons werden immer noch durch ihre Instanton-Nummer unterschieden. (In beiden Fällen sind die Vakua immer triviale Faserbündel, wie Sie sagten.)
Danke, ich glaube ich habe es jetzt verstanden und stimme dir zu. Ich schätze, es gibt eine physische Folge dieser Theta-Vakua, die sehr subtil sein muss, ähnlich dem elektromagnetischen Gedächtniseffekt.
Wenn Sie große Eichtransformationen als Redundanzen behandeln, messen Sie den gesamten Aharonov-Bohm-Effekt aus.
@DavidBarMoshe Ich verstehe nicht, warum das so wäre. Auf dem Bündelbild ( U ( 1 ) bündeln, sagen, S 1 ) Ich dachte, die Aharanov-Bohm-Phase sei in die Übergangsfunktionen des Bündels eingebaut und könne daher nicht durch große oder kleine Eichtransformationen geändert werden.
An S 1 außerhalb des Solenoids ist A = Φ 2 π R D θ . Wenn große Spurtransformationen erlaubt wären, was könnte uns daran hindern, dieses Feld auszumessen A → A + D ψ = 0 mit ψ = − ϕ 2 π R θ . Dies ist eine große Eichtransformation, da die Eichfunktion e ich ψ ist diskontinuierlich an S 1 , kann also nicht durch glatte Deformation der trivialen Eichtransformation erhalten werden. Andererseits gibt es keine Einschränkung für die Anwendung von Transformationen für kleine Spurweiten ψ ( 2 π ) = ψ ( 0 ) . In diesem Fall liegt keine Änderung des Interferenzmusters vor.
@DavidBarMoshe Ich würde das, was Sie vorschlagen, nicht als große Transformation bezeichnen. Mein Eindruck ist, dass große Spurweiten Transformationen haben müssten ϕ ( 2 π ) = ϕ ( 0 ) aber mit der karte ϕ ( θ ) nicht homotop zur Identität, da es eine nichttriviale Wicklung sein kann. Solche Karten ändern die Aharanov-Bohm-Phase nur um ein Vielfaches von 2 π , also kein Problem.
Eine große Eichtransformation ist ein Element der Eichgruppe, das nicht nahtlos mit der Identität verbunden werden kann. Die obige Transformation ist z. Es hat die Form einer Eichtransformation, aber Sie schlagen vor, es nicht als große Eichtransformation zu bezeichnen, was ist es dann? Es kann keine kleine Transformation sein, weil sie die Physik verändert.
@DavidBarMoshe Ich definiere eine Eichtransformation als einen fasererhaltenden Bündelautomorphismus P → P , und eine Transformation mit großer Spurweite, die nicht reibungslos mit der Identität verbunden ist. Ihre vorgeschlagene Messgerättransformation ist zunächst keine Karte, da sie nicht einzelwertig ist.
Ein weiteres Argument: Der Aharahov-Bohm-Effekt bezieht eine Phase auf einen magnetischen Fluss. Messtransformationen, ob groß oder klein, können den magnetischen Fluss niemals ändern, also können sie die Aharahov-Bohm-Phase nicht ändern.
Ich glaube nicht, dass ich Sie überzeugen kann, aber der Genauigkeit halber ist die obige Eichtransformation tatsächlich ein fasererhaltender Bündelautomorphismus: Sie wirkt durch a U ( 1 ) Verwandlung auf der U ( 1 ) Fasern und mischt keine Fasern. Es ist in der Tat diskontinuierlich, aber warum unterscheidet sich dies von den singulären (großen) Eichtransformationen in der Instanton-Theorie? Nach meinem Verständnis sind beide Transformationen mit großer Spurweite.
@DavidBarMoshe Ich denke immer noch, dass wir nur eine andere Nomenklatur verwenden. So wie ich es gelernt habe (von E. Weinberg), verändern große Eichtransformationen die Instantonzahl nicht ; Sie können ein Instanton nicht abschätzen. Andererseits ändern sie die Windungszahl von Vakuen (die räumlichen Scheiben, zwischen denen die Instantonen tunneln), und ich schlage vor, alle Vakuen als denselben Zustand zu identifizieren.
Nehmen Sie eine triviale Konfiguration A = 0 (Null-Instanton-Zahl) mit einer großen Eichtransformation darauf einwirken U , erhalten Sie A = U − 1 D U mit einer anderen Instanton-Nummer.
Nur als Referenz erwähnt Rubakov in seinem Buch (S. 277) auch, dass das Identifizieren des Unterschiedlichen | N ⟩ vacua ist ein ebenso gültiger Ansatz für das Problem der Instantonen und θ -Vakuum. Er schreibt diese Idee Manton (1983) zu, der mir persönlich sagte, man solle diese identifizieren | N ⟩ vacua in reinen Yang-Mühlen. Dies ist auch der Ansatz in Shifmans Buch (S. 177), der die Idee vertritt, dass das Potenzial, durch das getunnelt werden soll, wirklich auf einem Kreis definiert ist, nicht periodisch auf einer Linie.
@ gj255 Ich würde mich freuen, wenn Sie dies beantworten würden!
@knzhou Ich bin mir nicht sicher, ob ich über genügend Fachwissen verfüge, um konkret zu sagen, dass es in Ordnung ist , Transformationen mit großem Messgerät als echte zu behandeln ... Ich verstehe zum Beispiel die Antworten von ACuriousMind oder David Bar Moshe nicht ... Was ich sagen werde, ist dass ich weiß, dass sich dieses Bild ändern muss, wenn masselose Fermionen gekoppelt werden. Dafür sorgt nun die axiale Anomalie | N ⟩ vacua sind körperlich verschieden. Somit hat die Anomalie die Wirkung, den Konfigurationsraum in einen gewissen Abdeckraum davon zu ändern.

Antworten (1)

Sie können große Eichtransformationen im Allgemeinen nicht als "nichts tun"-Operationen verwenden, da sie zwar klassisch äquivalente Systeme verbinden, die Quantisierungen dieser Systeme jedoch inäquivalent sein können, vgl. diese Antwort von David Bar Moshe und darin enthaltene Referenzen .

Kurz gesagt, das dort gegebene Beispiel ist der Witten-Effekt (benannt nach Wittens Beschreibung in „Dyons of charge e θ / 2 π " ), die Dyons mit gebrochener elektrischer Ladung erzeugen, wenn θ ist ungleich Null. Das Dyon erscheint als "der Monopolzustand", wenn die Theorie modulo Small Gauge Transformationen quantisiert wird.

Auf einer abstrakteren Ebene ist es der übliche Quantisierungsprozess selbst , der bedeutet, dass quantentechnisch nur die kleinen Eichtransformationen garantiert "nichts tun": Sowohl das Dirac-Bergmann-Rezept als auch der BRST-Formalismus konzentrieren sich auf die Algebra der Eichtransformationen und deren Durchsetzung „nichts tun“-Charakter auf dem quantenphysikalischen Zustandsraum. Nichts in diesen Rezepten erzwingt, dass große Eichtransformationen "nichts tun"-Operationen in der Quanteneichtheorie wären, da die Algebra immer nur mit Transformationen potenzieren kann, die mit der Identität verbunden sind. Sie könnten damit durchkommen, dies zu behaupten, aber die standardmäßige Quantisierung von Eichsystemen gibt Ihnen keine solide Grundlage dafür, nicht einmal nach den laxeren Maßstäben der Physiker.

Ich glaube nicht, dass der Witten-Effekt ein Beispiel ist. Mein Eindruck ist, dass die physikalischen Effekte der "inäquivalenten Quantisierungen", von denen Sie sprechen, bereits durch die berücksichtigt werden θ -Term in Weinbergs Formalismus. (Wenn man eine Ableitung des Witten-Effekts überfliegt, scheint es nur vom Vorhandensein dieses Begriffs abzuhängen, nicht vom θ -Vakuumstruktur selbst.) Gibt es wirklich eine direkte Abhängigkeit von der Tatsache, dass es mehrere unterschiedliche Vakuen gibt?
In der Tat stimme ich zu, dass die Standard-Quantisierungsschemata so oder so nichts aussagen, aber aus meiner Sicht hat das "Weinberg-Schema", das alle großen Spurtransformationen nichts bewirkt, keine Nachteile. Sie können es als zusätzliches Postulat betrachten, wenn Sie möchten. Ist daran etwas falsch?
@knzhou Ich kann nicht auf Weinbergs Papier zugreifen, daher kann ich nicht genau sagen, was sein Schema ist. Allerdings klingt es fast so, als würde er vor der Quantisierung die Messuhr fixieren. Wenn dies möglich ist – dh in Abwesenheit von Gribov-Mehrdeutigkeiten – dann ist dies eine vollkommen gültige Wahl, aber die Theorie mit vollständig fester Eichung ist keine Eichtheorie mehr . Sie implementieren keine Gauge-Transformationen als "nichts tun"-Operationen, es gibt einfach keine Gauge-Transformationen.
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