Die Eichinvarianz ist nur eine Redundanz. Warum ist ein massives abelsches Eichfeld renormierbar, aber ein massives nicht-abelsches Eichfeld nicht renormierbar?

Question

Die Eichinvarianz ist nur eine Redundanz. Warum ist ein massives abelsches Eichfeld renormierbar, aber ein massives nicht-abelsches Eichfeld nicht renormierbar?

Ahorn

Zum Beispiel Kakus QFT S. 214-215:

Massive Vektortheorie mit nicht-abelscher Gruppe ist nicht renormierbar.

Die abelsche Massenvektortheorie ist renormierbar.

Ich habe von den folgenden Argumenten gehört, aber ich finde sie nicht befriedigend.

Jemand wird sagen, dass der Propagator eines massiven Vektorfeldes ähnlich ist
$\frac{g_{μ v} - k_{μ} k_{v} / m^{2}}{k^{2} - m^{2}} .$ $\frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2}.$ In großen $k$ , es wird nicht wie zerfallen $1/k^2$ , also bricht das Potenzzählgesetz zusammen. Natürlich gebe ich zu, dass das Potenzzählgesetz verletzt wird, aber warum hat eine Verletzung des Potenzzählens eine Beziehung zur Renormalisierbarkeit? Und das wissen wir bereits massiv $U(1)$ Das Eichfeld ist immer noch renormierbar, obwohl es gegen die Leistungszählung verstößt.
Jemand wird Massenbegriff sagen $m^2 \operatorname{tr} A^\mu A_\mu$ wird die Eichinvarianz brechen. Aber warum ist Eichinvarianz wichtig? Die Messinvarianz ist keine Symmetrie und nichts als eine Redundanz zur Beschreibung der wahren physikalischen Freiheitsgrade. Jede Theorie ohne Eichinvarianz kann durch den Stückelberg-Trick in eine Eichtheorie umgeschrieben werden, die dieselbe Physik beschreibt.

Zum Beispiel das riesige Maxwell-Feld
$\begin{matrix} (1) & L = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v} + \frac{1}{2} m^{2} {EIN}^{μ} {EIN}_{μ} \end{matrix}$ $\mathcal{L}= -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2 A^\mu A_\mu \tag{1}$ unter dem Ersatz, $\begin{matrix} (2) & {EIN}_{μ} \to {EIN}_{μ} + \partial_{μ} ϕ \end{matrix}$ $A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu \phi \tag{2}$ wird $\begin{matrix} (3) & L = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v} + \frac{1}{2} m^{2} ({EIN}_{μ} + \partial_{μ} ϕ)^{2} \end{matrix}$ $\mathcal{L}= -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2 (A_\mu +\partial_\mu \phi)^2 \tag{3}$

Jetzt $(3)$ hat lokale Eichinvarianz,
$\begin{matrix} (4) & δ {EIN}_{μ} = \partial_{μ} Λ, δ ϕ = - Λ \end{matrix}$ $\delta A_\mu =\partial _\mu \Lambda,\quad \delta \phi = -\Lambda \tag{4}$

Es ist klar, dass $(3)$ mit lokaler Eichinvarianz $(4)$ beschreibt dieselbe Theorie $(1)$ .

Neuskalierung $\phi\rightarrow \frac{1}{m}\phi$ ,
$\begin{matrix} (5) & L = - \frac{1}{4} F^{μ v} F_{μ v} + \frac{1}{2} m^{2} {EIN}^{μ} {EIN}_{μ} + \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ + m {EIN}_{μ} \partial^{μ} ϕ \end{matrix}$ $\mathcal{L}= -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2 A^\mu A_\mu + \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial ^\mu \phi +m A_\mu \partial^\mu \phi\tag{5}$ mit lokaler Eichinvarianz, $\begin{matrix} (6) & δ {EIN}_{μ} = \partial_{μ} Λ, δ ϕ = - m Λ \end{matrix}$ $\delta A_\mu = \partial_\mu \Lambda,\quad \delta \phi = -m \Lambda \tag{6}$

Auf die gleiche Weise kann jede Theorie ohne Eichinvarianz, wie ein massives nicht-abelsches Eichfeld, als Eichtheorie umgeschrieben werden. Warum gibt es also eine Beziehung zwischen Eichinvarianz und Renormierbarkeit?

Es scheint also, dass die beiden obigen handwinkenden Argumente unhaltbar sind. Wie kann man im Allgemeinen beweisen, dass die massive abelsche Eichtheorie renormierbar ist, die massive nicht-abelsche Eichtheorie jedoch nicht renormierbar?

ZweiBs

Eichinvarianz impliziert keine Renormierbarkeit. Denken Sie zB an den Lagrange

F_{μ ν} F^{μ ν} + [F_{μ ν} F^{μ ν}]^{2} + \dots

$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+[F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}]^2+\ldots$ was vollkommen eichinvariant und nicht renormierbar ist. Die Eichinvarianz ist nur als Buchführung geeignet, um die relevanten Freiheitsgrade hervorzuheben (einschließlich der fehlenden, wie z. B. das Higgs-Boson), und um effizient EFT mit Trennung zwischen Massen und Cutoff zu schreiben (möglicherweise unendliche Trennung der Skalen im Fall der renormierbaren Theorie). ).

Ahorn

@TwoBs Ja. Ihr Beispiel kann immer noch durch Potenzzählung erklärt werden. Der übliche Weg, mit Eichinvarianz zu argumentieren, ist also falsch.

ZweiBs

Wie Georgi hier lib-extopc.kek.jp/preprints/PDF/1989/8912/8912349.pdf sagt , ist Eichinvarianz „psychologisch nützlich“, um die EFT in inversen Potenzen des Cutoff statt in inversen Potenzen der Masse zu organisieren. Tatsächlich kann man dann sehen, dass das große Energieverhalten dasselbe wird wie die Nullmassengrenze (auf Baumebene), und daher ist die Eichinvarianz ein netter Trick, um eine effiziente Theorie mit einem hohen Grenzwert zu schreiben.

kakas

Ich bin kein Spezialist für HEP, aber wenn Sie nach dem Verhältnis von Renormierbarkeit und Leistungszählung fragen, geht es wie folgt. Der Renormierungsgruppenfluss muss in einem endlichdimensionalen Unterraum bestimmter Art abgeschlossen werden, abhängig von der mathematischen Struktur der Theorie. Jeder Begriff in Potenzreihen hat normalerweise eine physikalische Bedeutungskonstante davor. Jede solche Konstante sollte durch Renormierungsgleichungen kontrolliert werden. Wenn es unendlich viele solcher Terme gibt, kann die Theorie immer noch renormierbar sein, wenn Terme voneinander oder von endlich vielen physikalischen Parametern abhängen.

kakas

Forts. Hier, nehme ich an, ist es nicht wahr, dass sich jeder Term im nichtabelschen Maßstab in wichtiger Weise von einem anderen unterscheidet, so dass der Renormalisierungsgruppenfluss im unendlich dimensionalen Raum stattfindet, und es gibt Bereiche, die immer einige Terme zu unendlichen Werten anziehen, was es unmöglich macht, sie aufzuheben es aus. Das hätte ich erwartet, aber was ich geschrieben habe, war natürlich nur ein Handwinken :)

ZweiBs

@kakaz Ich bezweifle stark, dass die Eichinvarianz allein die Theorie renormierbar machen kann. Nehmen Sie das Beispiel, das ich oben vorgeschlagen habe,

F^{μ ν} F_{μ ν} + a (F^{μ ν} F_{μ ν})^{2} + \dots

$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+a (F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})^2+\ldots$ . Diese ist eichinvariant und entsteht zB durch Ausintegrieren eines geladenen Massenzustandes

m

$m$ und aufladen

e

$e$ , so dass

a \sim 1 / (16 π^{2}) e^{4} / m^{4}

$a\sim 1/(16\pi^2) e^4/m^4$ . Diese Theorie wird bei Niedrigenergie durch die dominiert

F^{4}

$F^4$ Laufzeit, die anderen immer wichtiger an

E \sim m 4 π / e

$E\sim m 4\pi/e$ . Zum

e ≪ 1

$e\ll 1$ Der Theorie fehlt also völlig das Vorhandensein neuer Zustände (der integrierten Auslastungen), die es geben

o (1)

$o(1)$ Korrektur der Amplituden.

ZweiBs

@kakaz Forts. Hier: Mit anderen Worten, der RG-Fluss ist nicht in der Lage, das Vorhandensein neuer Zustände in dem schwach gekoppelten Beispiel zu erfassen, das ich oben beschrieben habe.

kakas

Ich verstehe, was du gesagt hast. Ich habe gerade im Zusammenhang mit dem nichtabelschen Messgerät darüber nachgedacht. Der endliche Parameterraum ist hier der Schlüssel, nehme ich an.

ZweiBs

@kakaz Behalten Sie so viele Begriffe bei, wie Sie möchten, sie spielen in dem von mir skizzierten Beispiel bei niedriger Energie keine Rolle, und dennoch bricht die Theorie zusammen.

Kokosnuss

@TwoBs Warum ist das so?

F^{4}

$F^4$ Begriff dominiert bei niedriger Energie? (Naiverweise hätte ich gedacht, dass sein Beitrag war

\sim E^{4} / m^{4}

$\sim E^4/m^4$ , wird erst wichtig bei

E \sim m

$E\sim m$ , Also

F^{2}

$F^2$ würde dominieren)

ZweiBs

@kokosnuss Die

F^{2}

$F^2$ Der Term trägt null zur Streuamplitude bei, da er der kinetische Term ist. Der erste Nicht-Null-Beitrag kommt von

F^{4}

$F^4$ die bei niedriger Energie die nicht-triviale Dynamik steuert. Insbesondere die Amplitude bei niedriger Energie geht wie

e^{4} / (16 π^{2}) \times (E / m)^{4}

$e^4/(16\pi^2)\times (E/m)^4$ . Der höhere

F^{n}

$F^n$ Begriffe werden durch mehr Potenzen von unterdrückt

(e E / m)^{n - 4}

$(e E/m)^{n-4}$ .

Antworten (1)

Die Eichinvarianz ist nur eine Redundanz. Warum ist ein massives abelsches Eichfeld renormierbar, aber ein massives nicht-abelsches Eichfeld nicht renormierbar?

Eichinvarianz impliziert keine Renormierbarkeit. Denken Sie zB an den Lagrange $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+[F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}]^2+\ldots$ was vollkommen eichinvariant und nicht renormierbar ist. Die Eichinvarianz ist nur als Buchführung geeignet, um die relevanten Freiheitsgrade hervorzuheben (einschließlich der fehlenden, wie z. B. das Higgs-Boson), und um effizient EFT mit Trennung zwischen Massen und Cutoff zu schreiben (möglicherweise unendliche Trennung der Skalen im Fall der renormierbaren Theorie). ).
@TwoBs Ja. Ihr Beispiel kann immer noch durch Potenzzählung erklärt werden. Der übliche Weg, mit Eichinvarianz zu argumentieren, ist also falsch.
Wie Georgi hier lib-extopc.kek.jp/preprints/PDF/1989/8912/8912349.pdf sagt , ist Eichinvarianz „psychologisch nützlich“, um die EFT in inversen Potenzen des Cutoff statt in inversen Potenzen der Masse zu organisieren. Tatsächlich kann man dann sehen, dass das große Energieverhalten dasselbe wird wie die Nullmassengrenze (auf Baumebene), und daher ist die Eichinvarianz ein netter Trick, um eine effiziente Theorie mit einem hohen Grenzwert zu schreiben.
Ich bin kein Spezialist für HEP, aber wenn Sie nach dem Verhältnis von Renormierbarkeit und Leistungszählung fragen, geht es wie folgt. Der Renormierungsgruppenfluss muss in einem endlichdimensionalen Unterraum bestimmter Art abgeschlossen werden, abhängig von der mathematischen Struktur der Theorie. Jeder Begriff in Potenzreihen hat normalerweise eine physikalische Bedeutungskonstante davor. Jede solche Konstante sollte durch Renormierungsgleichungen kontrolliert werden. Wenn es unendlich viele solcher Terme gibt, kann die Theorie immer noch renormierbar sein, wenn Terme voneinander oder von endlich vielen physikalischen Parametern abhängen.
Forts. Hier, nehme ich an, ist es nicht wahr, dass sich jeder Term im nichtabelschen Maßstab in wichtiger Weise von einem anderen unterscheidet, so dass der Renormalisierungsgruppenfluss im unendlich dimensionalen Raum stattfindet, und es gibt Bereiche, die immer einige Terme zu unendlichen Werten anziehen, was es unmöglich macht, sie aufzuheben es aus. Das hätte ich erwartet, aber was ich geschrieben habe, war natürlich nur ein Handwinken :)
@kakaz Ich bezweifle stark, dass die Eichinvarianz allein die Theorie renormierbar machen kann. Nehmen Sie das Beispiel, das ich oben vorgeschlagen habe, $F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+a (F^{\mu\nu}F_{\mu\nu})^2+\ldots$ . Diese ist eichinvariant und entsteht zB durch Ausintegrieren eines geladenen Massenzustandes $m$ und aufladen $e$ , so dass $a\sim 1/(16\pi^2) e^4/m^4$ . Diese Theorie wird bei Niedrigenergie durch die dominiert $F^4$ Laufzeit, die anderen immer wichtiger an $E\sim m 4\pi/e$ . Zum $e\ll 1$ Der Theorie fehlt also völlig das Vorhandensein neuer Zustände (der integrierten Auslastungen), die es geben $o(1)$ Korrektur der Amplituden.
@kakaz Forts. Hier: Mit anderen Worten, der RG-Fluss ist nicht in der Lage, das Vorhandensein neuer Zustände in dem schwach gekoppelten Beispiel zu erfassen, das ich oben beschrieben habe.
Ich verstehe, was du gesagt hast. Ich habe gerade im Zusammenhang mit dem nichtabelschen Messgerät darüber nachgedacht. Der endliche Parameterraum ist hier der Schlüssel, nehme ich an.
@kakaz Behalten Sie so viele Begriffe bei, wie Sie möchten, sie spielen in dem von mir skizzierten Beispiel bei niedriger Energie keine Rolle, und dennoch bricht die Theorie zusammen.
@TwoBs Warum ist das so? $F^4$ Begriff dominiert bei niedriger Energie? (Naiverweise hätte ich gedacht, dass sein Beitrag war $\sim E^4/m^4$ , wird erst wichtig bei $E\sim m$ , Also $F^2$ würde dominieren)
@kokosnuss Die $F^2$ Der Term trägt null zur Streuamplitude bei, da er der kinetische Term ist. Der erste Nicht-Null-Beitrag kommt von $F^4$ die bei niedriger Energie die nicht-triviale Dynamik steuert. Insbesondere die Amplitude bei niedriger Energie geht wie $e^4/(16\pi^2)\times (E/m)^4$ . Der höhere $F^n$ Begriffe werden durch mehr Potenzen von unterdrückt $(e E/m)^{n-4}$ .

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Natürlich gebe ich zu, dass das Potenzzählgesetz verletzt wird, aber warum hat die Verletzung des Potenzzählens eine Beziehung zur Renormalisierbarkeit?

Gemäß dem Potenzzählsatz von Dyson-Weinberg (siehe Ref.1, Kapitel 12 und Ref.2, Kapitel 8-1) ist ein Diagramm genau dann konvergent, wenn jedes seiner Unterdiagramme einen negativen oberflächlichen Divergenzgrad aufweist $\omega$ . Letzteres ist definiert als

\begin{aligned} ω & = (Anzahl Impulsfaktoren im Zähler) \\ - (Anzahl Impulsfaktoren im Nenner) \\ + d \cdot (# der unabhängigen Impulsvariablen) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \omega&=\phantom{-}\left(\text{# of factors of momentum in the numerator}\right)\\ &\,\phantom{-}-\,\left(\text{# of factors of momentum in the denominator}\right)\\ &\phantom{-}\,+d\cdot \left(\text{# of independent momentum variables}\right) \end{aligned} \end{equation}$ wo

d

$d$ ist die Anzahl der Raumzeitdimensionen. Daher ist die Anzahl der Impulspotenzen im Zähler ein wesentlicher Bestandteil bei der Analyse potenziell divergierender Diagramme in einer bestimmten Theorie. Diese Zahl trägt mit einem Pluszeichen bei

ω

$\omega$ , je höher also ersteres, desto höher letzteres, und es gibt mehr Diagramme, die oberflächlich voneinander abweichen. Tatsächlich kann man argumentieren, dass die Anzahl der divergierenden Diagramme genau dann endlich ist, wenn alle Wechselwirkungen nach Potenz zählend renormierbar sind. Aus diesem Grund ist die Leistungszählung ein Schlüsselelement der Renormierbarkeit.

Und das wissen wir bereits massiv $U(1)$ Das Eichfeld ist immer noch renormierbar, obwohl es gegen die Leistungszählung verstößt.

Das ist in gewisser Weise ein glücklicher Zufall. Denken Sie daran, dass jeder Scheitelpunkt einen Faktor des Stroms trägt ( $J^\mu\sim e\bar\psi\gamma^\mu\psi$ ). In der (massiven oder masselosen) QED bleibt der Strom erhalten und damit die Faktoren von $k^\mu$ in den Zählern tragen nicht zur Streuung der Amplituden bei. Formal verhält sich der Propagator wie $\mathcal O(k^{-2})$ für hohes Momentum (anstatt zu sein $\mathcal O(1)$ , wie man erwarten kann). Selbst wenn eine massive QED die Renormierbarkeit der Leistungszählung verletzt, ist die Theorie daher tatsächlich renormierbar.

In nicht-abelschen Eichtheorien wird der Strom nicht konserviert (sondern stattdessen kovariant konserviert). Daher sind die Faktoren von $k^\mu$ beitragen, und die allgemeine Analyse der Potenzzähl-Renormierbarkeit gilt: Der Propagator ist $\mathcal O(1)$ für hohes Momentum, und die Theorie ist nicht renormierbar. Nur im masselosen Fall entkoppeln die Longitudinalmoden, und daher verhält sich der Propagator effektiv wie $\mathcal O(k^{-2})$ . Die Renormierbarkeit wird somit wiederhergestellt (und nur, weil die Geister den Längsbeitrag aufheben; ohne sie trägt auch der Längsteil bei).

Warum gibt es also eine Beziehung zwischen Eichinvarianz und Renormierbarkeit?

Das ist eine Frage der Semantik. Jede Abweichung in jeder lokalen Theorie kann durch die Einführung von Gegenbegriffen beseitigt werden. Wenn die Gegenterme die gleiche Form wie der ursprüngliche Lagrange haben, sagen wir, dass die Theorie renormierbar ist. Wenn also die anfängliche Theorie eichinvariant ist, dann ist die Theorie nur dann renormalisierbar, wenn die Gegenterme per Definition eichinvariant sind. Wenn Sie zufällig einen nicht eichinvarianten Gegenterm benötigen, bedeutet dies, dass Sie einen Gegenterm benötigen, der ursprünglich nicht in der Lagrange-Funktion enthalten war, und die Theorie ist nicht renormierbar.

Im Fall von Yang-Mills kann man beweisen, dass die Gegenterme tatsächlich eichinvariant sind und dieselbe Form haben wie die Terme, die ursprünglich in der anfänglichen Lagrange-Funktion vorhanden waren (siehe Ref.2, Kapitel 12-4 und Ref. 3, Kapitel 23). Daher ist die Theorie renormierbar. Der Beweis ist ziemlich nicht trivial und wird am besten im Kontext von Batalin-Vilkovisky (basierend auf den frühen Arbeiten von Zinn-Justin) verstanden. Im Fall der naiven Quantengravitation kann man beweisen, dass die Gegenterme ebenfalls eichinvariant sind, aber sie haben nicht die gleiche Form wie die ursprüngliche Lagrange-Funktion (vgl. diesen PSE-Beitrag ) . Daher ist die Theorie nicht renormierbar. Schließlich sind in einer Eichtheorie, in der Anomalien vorhanden sind, die Gegenterme nicht eichinvariant und die Theorie ist nicht renormierbar.

Wie kann man im Allgemeinen beweisen, dass ein massives abelsches Eichfeld renormierbar ist, aber ein massives nicht-abelsches Eichfeld nicht renormierbar ist?

Einen expliziten Beweis für die Renormierbarkeit massiver QED finden Sie in Ref.2, Kapitel 8-4. Die Diskussion der Nicht-Renormierbarkeit massiver nicht-abelscher Eichtheorien finden Sie in Ref.2, Kapitel 12-5-2 (die wesentlichen Punkte sind in diesem PSE-Beitrag zusammengefasst ).

Verweise.

Weinbergs QFT, Band 1.
QFT von Itzykson & Zuber.
DeWitts The Global Approach to QFT, Band 1.

Zur Behebung: Die Anzahl der divergenten Diagramme ist nicht (notwendigerweise) endlich. Vielmehr ist die Anzahl der Außenbeinstrukturen endlich.

Die Eichinvarianz ist nur eine Redundanz. Warum ist ein massives abelsches Eichfeld renormierbar, aber ein massives nicht-abelsches Eichfeld nicht renormierbar?

Ahorn

ZweiBs

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kakas

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