Einzigartigkeit der Yang-Mills-Theorie

Frage :

Gibt es ein Gefühl der Einzigartigkeit in den Eichfeldtheorien von Yang-Mills?

Einzelheiten :

Nehmen wir an, wir sind hinter der allgemeinsten Lagrange-Quantenfeldtheorie von (möglicherweise selbstinteragierenden) N drehen j = 1 Teilchen (und Materie). Die Konstruktion von Yang-Mills basiert auf Folgendem:

  • Wählen Sie eine kompakte halb-einfache Lügengruppe G mit schwach ⁡ G = N , und vorstellen N Vektorfelder EIN μ a , a = 1 , … , N . Dann

    F μ v a ≡ 2 ∂ [ μ EIN v ] a + g f a b c EIN μ b EIN v c

  • Die Lagrange-Funktion ist gegeben durch

    L = − 1 2 tr ( F 2 ) + L m a t t e r ( ψ , ∇ ψ ) + Lehre-Befestigung
    wo ∇ ψ ≡ ∂ ψ − ich g T a EIN a .

Meine Frage ist, wie einzigartig dieses Verfahren ist. Zum Beispiel einige Fragen, die mir in den Sinn kommen:

  1. Ist − 1 2 tr ( F 2 ) die allgemeinste Lagrange-Funktion L = L ( EIN μ a ) das führt zu einer konsistenten Theorie? oder können wir neue Selbstinteraktionen und neue freie Terme hinzufügen, ohne Unitarität, Kovarianz oder Renormierbarkeit zu beeinträchtigen?

  2. Ist minimale Kopplung ∂ → ∇ die allgemeinste Einführung von Wechselwirkungen mit den Materiefeldern? oder können wir nicht-minimale Wechselwirkungen hinzufügen, ohne Unitarität, Kovarianz oder Renormierbarkeit zu beeinträchtigen?

Kurz gesagt: Führt die Konstruktion von Yang-Mills zum allgemeinsten Lagrangian, der die Wechselwirkungen dieser Spins berücksichtigen kann? j = 1 Partikel konsequent? Diese Konstruktion hat viele verschiedene Zutaten, von denen einige durch geometrische Überlegungen motiviert sein können, aber ich habe nie einen Anspruch auf Einzigartigkeit gesehen .

Sind die Chern-Simons-Theorie und die nichtminimale Kopplung in den SUGRA-Theorien ausreichende Gegenbeispiele für die "Einzigartigkeit", nach der Sie suchen? Ich bin mir nicht sicher , was Sie hier wollen.
@ACuriousMind Ich weiß nichts über nicht-minimale Kopplung in SUGRA-Theorien, also weiß ich nicht, ob es ein ausreichendes Gegenbeispiel wäre (aber es klingt vernünftig/vielversprechend). Vielleicht kann ich meine Frage einfacher formulieren: Gibt es Raum für Modifikationen im Standardmodell, ohne neue Felder einzuführen? Können wir neue Wechselwirkungen zwischen den Eichbosonen (W, Z, ...) hinzufügen, ohne Unitarität, Kovarianz oder Renormierbarkeit zu beeinträchtigen? (Zumindest auf der störenden Ebene; hier ist es mir egal θ Bedingungen usw.)
Meine Vermutung ist, dass alle nicht minimalen Kopplungen niemals renormierbar sind d = 4 Raumzeitdimensionen, kann aber renormierbar sein d = 2 und d = 3 .
Wenn Renormalisierbarkeit keine Bedingung ist, können Sie jederzeit erweitern F 2 nach Born-Infeld Lagrange. Wie oben erwähnt, gibt es auch topologische Begriffe, die Sie hinzufügen könnten.
Jeder Term, der Renormierbarkeit, Lorentz-Invarianz, Eichinvarianz und andere Symmetrien betrifft, muss bereits in der Lagrange-Funktion vorhanden sein, sonst kann die Theorie nicht renormierbar gemacht werden. Die Kopplungskonstante dieses Terms muss neu normalisiert werden, um alle Scheitelpunkte endlich zu machen. Da die Renormierung der Yang-Mills-Theorie in der Störungstheorie nachgewiesen wurde, fehlt per Definition kein solcher Begriff. Alle spannenden Phänomene wie Confinement, nicht-minimale Kopplung, Axionen, Skyrmionen, Knoten usw. können mit perturbativen Yang-Mills nicht erreicht werden.
@DavidBarMoshe danke für deinen Kommentar. Darf ich es umformulieren als "wenn ein Modell nachweislich renormierbar ist, dann muss jede Modifikation davon, die mit seinen Symmetrien übereinstimmt, nicht renormierbar sein"? Diese Aussage scheint zu schön, um wahr zu sein, oder?
Ja, und wenn Sie den nicht renormierbaren Begriff hinzufügen, dann arbeiten Sie sowieso mit einer effektiven Theorie, was bringt es dann, überhaupt mit einer renormierbaren Theorie zu beginnen. Ich denke, dass die neue Physik in effektiven Theorien liegt, einige von ihnen sind nicht nur nicht-polynomial, sondern verwenden nicht einmal Vektorpotentiale, um Eichtheorien zu beschreiben.
@DavidBarMoshe Im Prinzip reicht Ihr Kommentar möglicherweise aus, um diese Frage tatsächlich zu beantworten, obwohl ich ihn lieber an anderer Stelle diskutieren würde. Ich habe gerade diese Frage gepostet . Wenn Sie möchten, können Sie dort gerne etwas sagen.

Antworten (1)

Wenn Sie keine Potenzzählungs-Renormalisierbarkeit vorschreiben, gibt es eine Vielzahl anderer Möglichkeiten, da Ableitungen höherer Ordnung oder Wechselwirkungen höherer Ordnung eingeführt werden können. Zum Beispiel Begriffe ( T r ( F 2 ) m ) n und sind eichinvariant, aber für m > 1 oder n > 1 nicht renormierbar.

Wenn Sie eine Potenzzähl-Renormalisierbarkeit auferlegen, ist die Eindeutigkeit bis zu trivialen Feldtransformationen ziemlich einfach. Um dies zu sehen, betrachtet man zunächst Monome – Produkte von Körpern und deren Ableitungen. Durch Renormierbarkeit darf der Gesamtgrad nicht größer als 4 sein. Jede partielle Ableitung d j = ∂ j Als Grad 1 zählt jedes Bosefeld EIN j als Grad 1 und jedes Fermionfeld ψ j als Grad 3/2. Darüber hinaus müssen Fermionen eine gerade Anzahl von Malen auftreten, um eine skalare Lagrange-Funktion zu erhalten. Dies führt zu einer recht kurzen Liste von Möglichkeiten: Bis zu 4 EIN s und d s, bzw ψ ψ , d ψ ψ , EIN ψ ψ , alle mit allen möglichen Indizes. Die allgemeine renormierbare lokale Lagrange-Dichte ist eine lineare Kombination davon, bei fest x . Wenden Sie nun Poincare-Invarianz und Eichinvarianz an, und die einzigen linearen Kombinationen, die übrig bleiben, sind die, die man überall sieht. Für ein einzelnes Yang-Mills-Feld und nichts anderes (dh Ihre Frage im engeren Sinne) bleibt als einzige Freiheit die Neuskalierung der Felder, wodurch ein willkürlicher Faktor vor der Spur eliminiert wird. Bei Vorhandensein von fermionischen Feldern besteht die zusätzliche Freiheit, lineare Kombinationen von fermionischen Feldern als neue Felder zu nehmen, die verwendet werden können, um die zugehörigen bilinearen Formen auf gewichtete Summen von Quadraten zu reduzieren.

Wenn man die Eichinvarianz weglässt, gibt es viele andere mögliche Langangsche Dichten, zum Beispiel einen Massenterm, Produkte davon mit den beschriebenen Termen und noch mehr.

Beachten Sie, dass der Nachweis der Renormierbarkeit von nichtabelschen Eichtheorien mit gebrochenen Symmetrien eine höchst nicht triviale Leistung war (rund hundert Seiten veröffentlichter Argumente), die einen Nobelpreis für Veltman und 't Hooft verdient. Daher ist es unangemessen, in einer Antwort die Gründe dafür zu erläutern, wo genau die Grenze zwischen renormierbar und nicht renormierbar ist.

Die Antwort auf Ihre Frage: „Vielleicht kann ich meine Frage einfacher formulieren: Gibt es Raum für Modifikationen im Standardmodell, ohne neue Felder einzuführen? Können wir neue Wechselwirkungen zwischen den Eichbosonen (W, Z, …) und/oder den Materiefeldern hinzufügen, ohne Unitarität, Kovarianz oder Renormierbarkeit zu beeinträchtigen? (zumindest auf der störenden Ebene; hier interessieren mich θ-Terme usw. nicht)'' im Zusammenhang mit der Prämie (die in ein paar Stunden verschwinden wird) ist nein, im Wesentlichen durch eine Erweiterung der obigen Argumentation (einschließlich der 100 Seiten des Nachweises der Renormierbarkeit).

Können Sie ein explizites Beispiel für andere Möglichkeiten ohne Renormierbarkeitsbedingung geben?
@AccidentalFourierTransform: Ich habe Details hinzugefügt.
@ArnoldNeumaier danke für deine Bearbeitung, a hat meine -1 in eine +1 geändert. Trotzdem finde ich das für meinen Geschmack sehr oberflächlich. Ich bin der Meinung, dass ein Kopfgeld von 200 eine viel detailliertere Antwort verdient; nicht etwas, für das Sie 5 Minuten gebraucht haben, um es zu schreiben. Zum Beispiel haben Sie nicht argumentiert, warum Eichinvarianz notwendig ist, um eine konsistente Theorie zu haben. Wir können den YM-Lagrangian modifizieren, indem wir z. B. g 2 f a b c f a d e EIN b EIN c EIN d EIN e → g b c d e EIN b EIN c EIN d EIN e in der quartischen Eichwechselwirkung, mit g ein beliebiger Satz von Koeffizienten. (1/2)
(2/2) Eichinvarianz erfordert g b c d e = g 2 f a b c f a d e , aber im Prinzip die g b c d e ist potenzzählend renormierbar und kovariant. Ich hätte eine Diskussion darüber erwartet, wie die Theorie durch Brechen der Eichinvarianz nicht renormierbar wird, selbst wenn sie nach Potenzzählung renormierbar ist. Oder sowas ähnliches. Keine Zwei-Absatz-Antwort. Sie können jedoch die automatischen +100 Punkte haben. Ich halte es für unfair, die vollen +200 Punkte zu vergeben.
@AccidentalFourierTransform: „etwas, für das du 5 Minuten gebraucht hast“: Du unterschätzt die Zeit, die du zum Schreiben benötigst, stark. Es ist nicht nur die Zeit, die für das Tippen benötigt wird!
@AccidentalFourierTransform: "Sie haben nicht argumentiert, warum Eichinvarianz notwendig ist, um eine konsistente Theorie zu haben": Dies war nicht Teil Ihrer Frage: "Gibt es ein Gefühl der Einzigartigkeit in den Eichfeldtheorien von Yang-Mills?" „Nach Yang-Mills zu fragen bedeutet, Eichinvarianz anzunehmen. Aber ich füge noch einen Absatz hinzu....
Das ist genau die Antwort auf die gestellte Frage. Das Kopfgeld nicht zu vergeben erscheint mir etwas kleinlich. Und ich bin sicher, das zu schreiben hat keine 5 Minuten gedauert...
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