Warum haben Eichtheorien einen solchen Erfolg?

Ich denke, Ihre Bemerkung 1 ist richtig, und deshalb bin ich mit Bemerkung 2 nicht einverstanden.

Ich glaube nicht, dass Sie den Eichformalismus als grundlegend oder gar unvermeidlich betrachten sollten. Eichfreiheitsgrade entstehen, wenn man falsche Freiheitsgrade hinzufügt, um die Formulierung der Theorie einfacher oder offensichtlicher symmetrisch zu machen. Zum Beispiel wollen wir, dass die Quantentheorie Lorentz-invariant und einheitlich ist. Die Darstellungstheorie der Poincare-Gruppe hier sagt Ihnen, dass ein masseloses Helizitäts-1-Teilchen 2 Freiheitsgrade auf der Schale hat. Wir möchten aber auch, dass die Theorie lokal ist, und verwenden daher eine Lagrange-Beschreibung (off-shell), um dies sicherzustellen.

Um einen offensichtlich Lorentz-invarianten lokalen Lagrange zu schreiben, müssen wir die beiden Freiheitsgrade in ein größeres Feld einbetten und einen eich-invarianten Lagrang verwenden. Dies ist eine Wahl. Wir tun dies, weil wir wollen, dass die Theorie bei jedem Schritt entlang der Berechnung explizit lokal und Lorentz-invariant aussieht. Die Eichredundanz ergibt sich aus dem Konflikt zwischen Einheitlichkeit (2 dof) und Lokalität/Lorentz-Invarianz (muss das Eichfeld verwenden). Wenn wir keine Lagrange-Beschreibung wollten (sagen wir, wir hätten eine Möglichkeit, nur On-Shell-Daten wie Impuls und Helizität zu berechnen) oder es uns egal wäre, ob die Zwischenschritte Lorentz-invariant aussehen (dh einfach das Messgerät fixieren und berechnen) dann könnten wir die Messgerätredundanz vermeiden.

Soweit mir bekannt ist, sind die Leute, die an N = 4 SYM-Amplituden arbeiten, dazu in der Lage. Sie erzielen eine große Einfachheit bei den Antworten, da sie nur mit On-Shell-Daten arbeiten, sich keine Gedanken über die Lokalität machen und somit die Redundanz der Messgeräte vermeiden. Meiner Meinung nach ist der einfachste Weg, eine solche Vereinfachung zu sehen, die Berechnung einer Gluonen-Streuamplitude unter Verwendung der Feynman-Regeln, die von einer Lagrange-Funktion abgeleitet sind (selbst für eine kleine Anzahl von Gluonen wird die Anzahl der Diagramme unüberschaubar, da so viele über miteinander verbunden sind Eichredundanz) und wiederholen Sie dann die Berechnung mit dem Spinor-Helizitäts-Formalismus, der es Ihnen ermöglicht, die Berechnung auf einer Seite durchzuführen und keine Eichfelder zu verwenden usw.

In diesem Sinne sind Eichtheorien also erfolgreich, weil die Kräfte in der Natur durch masselose Teilchen mit Helizität 1 (oder 2 für die Schwerkraft) vermittelt werden, und Physiker mögen / brauchen Lagrange-Beschreibungen, weil sie bestimmte Eigenschaften wie Lokalität und Lorentz-Invarianz manifestieren wollen. Die Eichinvarianz ist kein grundlegender Bestandteil der Natur, sie ist ein Relikt des Teilchengehalts des Universums und der besonderen Art, wie wir die Physik beschreiben.

Als Außenseiter der Teilchen- und BSM-Physik fühle ich mich ein wenig seltsam, Ihnen dies vorzuschlagen, Trimok (mit dem, was ich aus Ihren Antworten und Fragen über Ihren Hintergrund und Ihre Fähigkeiten gesammelt habe), aber ich möchte es so sehen.

Viele Jahre lang hatte ich das Gefühl, mir die Haare zu raufen, wenn ich einen Lagrange-Operator sah, während ich versuchte, einen Laien-Einblick in das zu bekommen, was andere Physiker taten, insbesondere in der BSM-Physik. Nicht, dass ich irgendwelche Probleme mit der mathematischen Korrektheit dessen hatte, was präsentiert wurde – seine physikalische Grundlage erschien mir einfach durch und durch mysteriös. Wie Roger Penrose irgendwo in „The Road to Reality“ sagt, sind Lagrange-Formulierungen einer Theorie „ein Cent ein Dutzend“ (nicht genau die Worte, die er verwendet hat: Sie können sich eine Lagrange-Version jeder physikalischen Theorie ausdenken. Wie um alles in der Welt träumt man Es ist im Allgemeinen schwierig, wenn nicht unmöglich, die Begriffe in einem Lagrange zu betrachten und zu sagen, "dass man so und so meint", wie Sie es mit vielen (nicht allen, wohlgemerkt) physikalischen Theorien können. Penrose machte den kryptischen Kommentar, dass das Standardmodell durch und durch „erfunden“ aussehen würde, wenn es nicht seine experimentelle Grundlage gäbe. Ich las „erfunden“ als „körperlich überhaupt nicht offensichtlich“, aber auch „wenn da nicht …“ implizierte, dass die experimentellen Ergebnisse besagten, dass dies genau so sein musste. Ich fragte mich, welche experimentellen Ergebnisse etwas so Abstraktes wie einige der Lagrangianer motivieren würden, denen ich auf eine Weise begegnete, die so stark war, wie Penrose andeutete.

Dann dämmerte mir plötzlich folgendes (ich glaube darauf zielt auch die Antwort von Frederic Brünner ab):

Lagrange-Dynamik + Noether-Theorem = Ein Werkzeug für Experimentatoren , um ihre Beobachtungen in eine Kandidatentheorie zu kodieren, von der aus die Theoretiker arbeiten können

Der Satz von Noether handelt natürlich von Lagrange-Operatoren, ihren kontinuierlichen Symmetrien und entsprechenden Erhaltungsgrößen, genau eine für jede kontinuierliche Symmetrie, deren Erhaltung durch eine entsprechende Kontinuitätsgleichung beschrieben werden kann. Wenn wir also experimentell feststellen, dass es einige gemessene, reellwertige Größen gibt, die während der Experimente erhalten bleiben, sagen wir "Twanglehood", "Bloobelship" und "Thwarginess", und dann ist eine mögliche Theorie eine, die von einem Lagrangian abgeleitet ist explizit konstruiert mit jeweils einer kontinuierlichen Symmetrie für diese. Außerdem könnten wir Glück haben, wie in Frederic Brünners Beispiel, auch drei beobachtete kontinuierliche Symmetrien zu haben. Das ist jetzt eine wirklich starke experimentelle Motivation:Symmetrien und versuchen, jede durch Noethers Theorem implizierte Kontinuitätsgleichung an "Twanglehood", "Bloobelship" und "Thwarginess" anzupassen, in Übereinstimmung mit allem, was wir sonst experimentell über diese drei lernen können.

Sobald ich das verstanden hatte, schmolz das andere Mysterium dahin. Warum wollen wir physikalische Theorien mit Eichsymmetrie – dh Redundanz in ihnen? Die Physik strebt doch danach, die Dinge so einfach wie möglich zu machen, insbesondere wenn die Eichsymmetrie keine experimentell zunächst offensichtliche Symmetrie des Systems ist? Natürlich wird in der Lagrangeschen Formulierung Symmetrie benötigt, um Erhaltung zu erzeugen, also nehmen wir „Redundanz“ – Eichsymmetrie – an, um diese Erhaltung mathematisch in einer Eichtheorie auszudrücken.

Da ich kein routinemäßiger Benutzer dieser Ideen bin, gibt es zwangsläufig mehr Antworten auf Ihre Frage, als mein mageres Wissen vorbringen kann, aber die obigen Ideen müssen zumindest eine Teilantwort sein.

Fußnote: Ich habe absichtlich das Wort "kontinuierlich" anstelle von differenzierbarer Symmetrie verwendet: Letzteres müssen Sie nicht annehmen. Eine "kontinuierliche" Symmetrie impliziert eine Lie-Gruppe von Symmetrien, und die Lösung von Montgomery, Gleason und Zippin für Hilberts fünftes Problem zeigt dies$C^0$Annahmen in der Lügentheorie implizieren eine Analytik, dh $C^\omega$vielfältig. Ich musste das irgendwie reinbekommen, als Enthusiast der Lügentheorie.

Der Standpunkt, dass Eichsymmetrien einfach herausquotiert werden können, ist zu einfach. Es ist natürlich richtig, dass in der Streuungstheorie, in der man nur global betrachtet, dass etwas in eine Blackbox hineingeht und am Ende wieder herauskommt, nur die Eichäquivalenzklassen von In- und Out-States von Bedeutung sind. Aber was in dieser Blackbox passiert, ist die lokale Feldtheorie, und es gibt keine Möglichkeit, die Lokalität beizubehalten, während man die Eichtransformationen lokal quotiert. Dies folgt aus einem einfachen Argument, zur Erläuterung siehe diese Anmerkungen .

Insbesondere, wie dort diskutiert, wenn man darauf besteht, dass Eichtransformationen auch lokal nur eine Redundanz aufweisen, dann verschwinden alle Instanton-Sektoren, folglich verschwindet dann das eigentliche QCD-Vakuum .

Es gibt drastischere Beispiele. Zum Beispiel entsteht das Wess-Zumino-Witten-Modell an der Grenze der Chern-Simons-Theorie, so dass seine Feldkonfigurationen (auf eine Lie-Gruppe abgebildet werden$G$) werden mit den Grenzspurtransformationen der identifiziert$G$-Chern-Simons Eichtheorie. Dies ist ein drastisches Beispiel dafür, dass Messtransformationen keine Redundanz sind.

Im Allgemeinen dient es dazu, nicht zu naiv zu sein und ein Minimum an mathematischer Raffinesse anzuwenden, wenn man die Eichsymmetrie in der Grundlagenphysik betrachtet. Zur weiteren Lektüre siehe auch die Exposition Beispiele für Präquantenfeldtheorien I: Eichfelder .

Ein Grund für den Erfolg von Eichtheorien könnte darin liegen, dass Eichtransformationen keine exotische mathematische Kuriosität sind, die irgendeinen Nebenzweig eines physikalischen Konzepts betrifft, sondern im Kern der Theorie selbst stehen: Sie beeinflussen die Dynamik der Theorie direkt, indem sie die Form bestimmen die Lagrangedichte, aus der man viele für den Vergleich mit dem Experiment relevante Größen ableiten kann (Bewegungsgleichungen, Streuamplituden). Phänomenologie und Grundprinzipien, die angenommen werden, beeinflussen die Theorie in dramatischer Weise. Das Prinzip der Eichsymmetrien fügt sich nahtlos sowohl in die alten und etablierten Konzepte der klassischen Mechanik als auch in die relativ neue und moderne Theorie der Quantenmechanik ein.

Nehmen Sie zum Beispiel QCD - die Annahme und Beobachtung, dass die Natur nicht zwischen Zuständen unterschiedlicher Farbzerlegung unterscheidet, führt direkt zur Einführung von an$SU(3)$Farbsymmetrie mit all ihren schönen und rätselhaften Folgen.