Groß- und Kleinspurumbauten?

Ich habe Fragen zum Unterschied zwischen kleinen und großen Spurtransformationen (eine kleine Spurtransformation tendiert zur Identität bei räumlicher Unendlichkeit, während die großen Transformationen dies nicht tun). Viele Quellen geben (ohne jede Erklärung oder Bezugnahme) an, dass Konfigurationen, die durch Transformationen mit kleiner Spurweite verbunden sind, physikalisch äquivalent sind, während Transformationen mit großer Spurweite physikalisch unterschiedliche Konfigurationen betreffen. Das erscheint mir seltsam (und einige Dozenten an meiner Universität sagen sogar, dass dies falsch ist), weil sich alle Eichtransformationen auf physikalisch äquivalente Konfigurationen beziehen.

Einige der Literatur, die den Unterschied zwischen kleinen und großen Spurweitentransformationen erwähnt:

In den Notizen von Figueroa-O'Farrill wird es in Abschnitt 3.1 (Seite 81-82) in http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/EDC.html erwähnt

Siehe in Harveys Notizen Gleichung (2.13) in http://arxiv.org/abs/hep-th/9603086

In den Notizen von Di Vecchia siehe die Diskussion oben (und unten) Gleichung (5.7) http://arxiv.org/abs/hep-th/9803026

Sie alle sagen, dass Transformationen großer Messgeräte physisch unterschiedliche Konfigurationen betreffen, aber sie erklären nicht, warum dies wahr ist. Weiß jemand warum das stimmt?

Seite 23 dieser Referenz spricht ein wenig über diese lepp.cornell.edu/~pt267/files/documents/A_instanton.pdf

Antworten (2)

In den Fällen, in denen die Eichgruppe getrennt ist, sind beide Möglichkeiten, den physikalischen Raum als den Quotienten des Feldraums durch die gesamte Eichgruppe zu definieren EIN p h j s ich c a l = EIN G oder durch seine Verbindung mit der Identitätskomponente EIN p h j s ich c a l = EIN G 0 sind mathematisch einwandfrei. Im zweiten Fall werden die großen Eichtransformationen nicht in die Reduktion einbezogen, daher transformieren sie zwischen physikalisch unterschiedlichen Konfigurationen und in der Quantentheorie zwischen physikalisch unterschiedlichen Zuständen.

Wie NP Landsman begründet, übersieht die erste Wahl jedoch inäquivalente Quantisierungen, die derselben klassischen Theorie entsprechen. Im Falle der magnetischen Monopole entsprechen diese unterschiedlichen Quantisierungen Monopolen mit gebrochener elektrischer Ladung (Dyons). Dieses Phänomen wurde von Witten entdeckt (der Witten-Effekt). Wenn die gesamte Eichgruppe einschließlich der großen Eichtransformationen durch quotiert wird, wären solche Zustände in der Quantentheorie nicht vorhanden.

In der Monopoltheorie können die inäquivalenten Quantisierungen durch Hinzufügen eines Theta-Terms zum Lagrangian erhalten werden (genau wie im Fall von Instantonen). Landsman bietet eine Erklärung dieses Begriffs im Quanten-Hamiltonschen Bild: Annehmen π 0 ( G ) abelsch ist, dann kann, wenn die Eichgruppe nicht verbunden ist, ein eichinvariantes inneres Produkt definiert werden als:

⟨ ψ | ϕ ⟩ p h j s = ∑ n ∈ π 0 ( G ) ∫ g ∈ G 0 e ich π θ n ⟨ ψ | U ( g ) | ϕ ⟩

Wobei die ursprünglichen Zustände zum (großen) nichtinvarianten Hilbert-Raum gehören. Dieses innere Produkt ist G 0 invariant für alle Werte von θ .

Danke für deine Antwort. Ich habe Ihre Nachricht gelesen und versuche, das Papier zu lesen, für das Sie einen Link bereitgestellt haben, aber ich verstehe es ehrlich gesagt nicht wirklich. Ich verstehe, dass man den Quotienten nimmt EIN / G ist mathematisch korrekt. Ich bin mir jedoch immer noch nicht sicher, warum große Spurtransformationen physikalisch unterschiedliche Konfigurationen betreffen. Es scheint, dass dies der ganzen Idee von Eichtransformationen widerspricht, die per Definition redundante Freiheitsgrade sind.
Wenn Transformationen großer Spurweiten physisch unterschiedliche Konfigurationen betreffen, dann sind sie eindeutig nicht redundant. Ich weiß nicht, wie ich diese Dinge reimen soll.
@Hunter Die Identitätskomponente G 0 das ihr abschätzt, ist fast die ganze Eichgruppe, es ist eine unendlich dimensionale Gruppe. Die Gruppe der großen Spurweite Transformation ist nur Z , es ist diskret. Daher denke ich, dass Sie dies als eine Feinabstimmung des Eichprinzips betrachten können.
@Hunter Transformationen, die den Zustand nicht ändern, werden als Messsymmetrien oder Redundanzen bezeichnet. Diese Transformationen tendieren zur Identität im räumlichen Unendlichen. "Großspurtransformationen" sind per Definition nicht kontinuierlich mit der Identitätstransformation verbunden (sie leben nicht auf derselben "Insel" der getrennten Gruppe wie die Identität). Deshalb neigen sie nirgendwo zur Identität. Daher ändern sie den Zustand (und tatsächlich nehmen sie den Zustand von einem Hilbert-Raum zu einem anderen).
@Hunter Daher wäre ein besserer Name "große lokale (raumzeitabhängige) Transformationen" anstelle von "Gauge" (dies sollte Transformationen vorbehalten sein, die den Zustand nicht ändern). David, bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege.
@drake Danke für deine Antwort. Haben Sie zufällig Referenzen, wo ich weitere Informationen finden kann? Bei Peskin und Schroeder oder Lewis Ryder konnte ich nichts finden. Ich habe versucht, es zu googeln, aber die meisten Quellen beziehen sich auf die Änderung der Homotopie von Instantons (einschließlich Ryder), und ich glaube nicht, dass Sie darüber sprechen.
Die Frage betrifft die Unterscheidung zwischen großen und kleinen Eichtransformationen in dem Sinne, dass kleine Transformationen zur Identität im Unendlichen gehen. In dieser Antwort wird der Unterschied zwischen Eichtransformationen erörtert, die in der Identitätskomponente (klein) liegen, und solchen, die dies nicht tun (groß). Diese beiden Vorstellungen von kleinen/großen Spurweitentransformationen scheinen nur ihre Namen gemeinsam zu haben. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber so wie es aussieht, sehe ich keinen Zusammenhang zwischen den beiden Themen.
@Friedrich Es gibt einen einzigen Begriff von großen Spurtransformationen. Ihre Beschreibung als Konfigurationen, die nicht zur Einheit im Unendlichen streben, ist ein Spezialfall, der auf die Ein-Punkt-Kompaktifizierung eines flachen Raums anwendbar ist. Auf einem allgemeinen Raum gibt es keinen speziellen Punkt wie Unendlich und Sie müssen auf die allgemeine Definition zurückgreifen.

Eine Antwort an einem Beispiel. Soweit sich ein bewegtes Teilchen in einem anderen Zustand befindet als ein ruhendes, befindet sich ein schwarzes Loch in Bewegung in einem anderen Zustand als ein ruhendes Schwarzes Loch. Die Transformation, die den Zustand eines BH in Ruhe auf den Zustand eines BH in Bewegung abbildet, ist eine große Eichtransformation. In der Hoffnung, dass dies die Dinge klarer macht.

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