In 3D N=2N=2{\cal N}=2 SUSY enthält das lineare Multiplett einen globalen Strom. Wie hängt das mit dem Eichfeld zusammen?

Ein lineares Multiplett ist definiert als$\Sigma=\epsilon^{\dot{\alpha}\beta}\bar{D}_{\dot{\alpha}}D_{\beta}V$Wo$V$das Vektormultiplett ist, das einer U(1)-Eichsymmetrie entspricht.

Sie haben keine "gepunkteten Indizes" für die Darstellungen der Lorentz-Gruppe in$d=3$(da die (echte) Lorentz-Algebra ist$\mathfrak{sl}(2)$oder$\mathfrak{su}(2)$für die Minkowskische/euklidische Raumzeit). Außerdem gilt die Definition nicht nur für jedes Eichsymmetrie-Vektorpotential$\mathsf{U}(1)$.

Was ist das für ein Strom und was hat er mit der U(1)-Eichsymmetrie des Vektormultipletts zu tun, aus dem V Σ aufgebaut ist?

Beim Reduzieren der$d=4,\mathcal{N}=1$Theorie zu$d=3,\mathcal{N}=2$(Der entscheidende Punkt ist, dass Sie$4$Generatoren von SUSY in beiden Theorien) zerfällt das Vektorsuperpotential als

$$\begin{equation} V=-i\theta\bar{\theta}\sigma -\theta\gamma^i\bar{\theta} A_i+i\theta^2\bar{\theta}\bar{\lambda}-\bar{\theta}^2\theta\lambda +\frac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2 D,\end{equation}$$ Wo $\sigma$ist nun ein (Lorentz-)Skalarfeld, das der Komponente von entspricht $d=4$Vektorfeld in der reduzierten Richtung. Der Skalar $\sigma$kann ein VEV nehmen, das die Eichgruppe auf ihren maximalen Torus bricht $\mathsf{U}(1)^{\operatorname{rank}\mathfrak{g}}$(topologisch ist das $(\mathbb{S}^1)^r$, dh ein $r$-Torus), also kann man jedem Abelschen Faktor ein Stress-Energiefeld zuordnen $F^i$. Nehmen wir der Einfachheit halber den Fall von nur einem abelschen Faktor und rufen auf $F_{ij}$die entsprechende Feldstärke, die eine Lie-Algebra bewertet $2$-Form, dann hinein $d=3$der Hodge-Stern wird es auf einen Lie-Algebra-Wert abbilden $1$-Form, die abgeschlossen ist (Maxwellsche Gl.), also lokal exakt, können wir ein Skalarfeld einführen $\gamma$und schreiben (lokal) $$\begin{equation} \phi:= \sigma+i\gamma,\quad \star_3F=d\gamma, \end{equation}$$ $\gamma$ist als dualisiertes Skalarphoton bekannt. Der entscheidende Punkt ist nun, dass seine Ladung quantisiert ist, dh $$\begin{equation} q=\frac{1}{2\pi}\int F\in\mathbb{Z}, \end{equation}$$ deshalb, die $\gamma$Das Feld ist kompakt, das heißt, $\phi$Und $\phi+2\pi i$identifiziert werden sollen, oder äquivalent dazu ist die Aktion invariant bzgl. einer Verschiebung von $\gamma$von $2\pi\mathbb{Z}$: wir nennen das Symmetrie $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$oder topologische Symmetrie. Wie siehst du aus $d\star_3F=0$, $J\sim\star_3F$ist der Erzeuger der $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$globale Symmetrie mit erhaltener Ladung $\sim q$(die genauen Proportionalitätsfaktoren hängen von Ihren Definitionen ab). Definieren $$\begin{equation} \Sigma=-\frac{i}{2}\epsilon^{{\alpha}\beta}\bar{D}_{{\alpha}}D_{\beta}V, \end{equation}$$ Dann $$\begin{equation} 2\pi J=\sigma+\dots+\frac{1}{2}\theta\gamma^i\bar{\theta}(\star_3F)_i. \end{equation}$$

Sehen Sie sich die Anhänge A und B dieses Artikels https://arxiv.org/abs/1406.6684 an , um eine genauere Erklärung zu erhalten.