Unendlich viele Erhaltungsströme in jeder QFT?

Question

Unendlich viele Erhaltungsströme in jeder QFT?

Valentina

Also ich habe folgendes Kuriosum: Betrachten Sie zum Beispiel in QED die Menge

J^{μ} \equiv \partial_{v} (λ (X) F^{μ v})

$j^\mu\equiv\partial_\nu (\lambda(x) F^{\mu \nu})$

Wo $\lambda(x)$ ist eine beliebige skalare Funktion der Raumzeit, konstruiert aus Elementen der Theorie, z

λ (X) = A_{μ} A^{μ} F_{ρ σ} F^{ρ σ}

$\lambda(x)=A_\mu A^\mu F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}$

oder was dir sonst noch einfällt. Dann seit $F^{\mu \nu}$ ist antisymmetrisch, $\partial_\mu j^\mu=0$ identisch.

Tatsächlich kann dies auf jede Theorie verallgemeinert werden; Konstruieren Sie aus verschiedenen Elementen einen antisymmetrischen zweistufigen Tensor und einen Skalar, multiplizieren Sie sie miteinander, und für jede Ihrer Entscheidungen gibt es einen entsprechenden erhaltenen Strom. Wenn diese Ströme nicht trivial sind (z. B. nur verschwindende Ladungen angeben), dann scheint es, dass alle Theorien eine unendliche Landschaft von konservierten Strömen liefern. Ist das so? Übersehe ich etwas? Wie wird das logisch begründet?

WAH

Vielleicht ist das offensichtlich, aber warum ist es

\partial_{μ} j^{μ} = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν}) = 0

$\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ Notwendig?

Valentina

Es ist

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = - \partial_{ν} \partial_{μ} (λ F^{ν μ}) = - \partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν})

$\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ wo ich in der letzten Gleichheit nur die Dummy-Indizes umbenannt habe.

WAH

I stimme zu

(\partial_{μ} \partial_{ν} λ) F^{μ ν} = 0

$(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ Und

λ \partial_{μ} \partial_{ν} F^{μ ν} = 0

$\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . also dann

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν})

$\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . Mir ist nicht klar, dass die letzte Menge immer identisch 0 ist.

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Unendlich viele Erhaltungsströme in jeder QFT?

Vielleicht ist das offensichtlich, aber warum ist es $\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ Notwendig?
Es ist $\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ wo ich in der letzten Gleichheit nur die Dummy-Indizes umbenannt habe.
I stimme zu $(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ Und $\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . also dann $\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . Mir ist nicht klar, dass die letzte Menge immer identisch 0 ist.

QMechaniker · Answer 1

OP schrieb (v2):

Wenn diese Strömungen nicht trivial sind, [...]

Tatsächlich die meisten $^1$ der Ströme von OP sind trivial $^2$ . Die entsprechenden Gebühren

Q := \int_{v} D^{3} X J^{0} = \int_{v} D^{3} X \sum_{ich = 1}^{3} D_{ich} (λ F^{ich 0}) = \int_{\partial v} D^{2} X (\dots) = 0

$Q ~:=~ \int_V d^3x~ j^0~=~\int_V d^3x~\sum_{i=1}^3d_i(\lambda F^{i0})~=~\int_{\partial V} d^2x~(\ldots) ~=~0$ verschwinden, wenn die Komponenten

λ F^{i 0}

$\lambda F^{i0}$ fallen schnell genug ab

o (r^{- 2})

$o(r^{-2})$ im räumlichen Unendlichen

\partial V

$\partial V$ .

--

$^1$ Der Dauerfall $\lambda=1$ entspricht dem erhaltenen elektrischen Strom, vgl. Maxwellsche Gleichungen. Ein nicht konstanter Begriff in $\lambda$ fällt im räumlichen Unendlichen typischerweise zu schnell ab $\partial V$ um ein nicht-triviales Erhaltungsgesetz aufzustellen.

$^2$ Dennoch führt die zweite Noether-Identität in einer allgemeinen Eichtheorie tatsächlich zur Existenz eines Superpotentials mit einer unendlichen Hierarchie konservierter Oberflächenladungen an der Raumgrenze, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Aus dem gleichen Grund scheint es so zu sein, dass jeder Strom, der durch die Verwendung eines Derivats erzeugt wird, triviale Gebühren hat. Wie auch immer, ich denke, das verdeutlicht es, danke.
Aber wie groß oder klein ist "die meisten" überhaupt? Ist es "most" wie in "alle außer einer endlichen Zahl" oder "most" wie im Sinne eines Mathematikers wie "von Maß Null", was immer noch eine unabzählbar unendliche Anzahl möglicher solcher nichttrivialer Größen hinterlassen könnte ?

JG · Answer 2

Wenn wir haben $\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ On-Shell, wie es zB bei EM ohne Quellstrom passiert, $F^{\mu\nu}X_\nu$ konserviert wird vorausgesetzt $\partial_\mu X_\nu$ symmetrisch ist, wie zB bei $X_\nu=\partial_\nu\lambda$ . Nicht alle diese Stromerhaltungen sind trivial. Siehe Abschnitt. 2.1.2 meiner Dissertation , die dies auf die gekrümmte Raumzeit verallgemeinert.

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Valentina

WAH

Valentina

WAH

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QMechaniker

Valentina

Der_Sympathisant

QMechaniker

JG

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