Erhaltungsgesetz des Farbstroms in Yang-Mills Theorien

Ich denke, es gibt ein bisschen Verwirrung, wie Sie die Bewegungsgleichung schreiben.

TL;DR : Der Strom, der normalerweise zur Erhaltung von Farbströmen verwendet wird, ist der Quarkstrom , dh derjenige, der sich auf die Materiekomponente des Lagrange bezieht (im Gegensatz zum Gluon- Eichfeldteil ). Dieser Strom ist nicht derselbe Strom, den Sie aus dem Satz von Noether erhalten würden. Und technisch gesehen gilt Noethers Theorem nur für globale Symmetrien, was für QCD nicht der Fall ist.

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Die Bewegungsgleichung für das Gluonenfeld$F^a_{\mu\nu}$Ist:

$$\tag{1} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) + f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) = - \color{red}{j}^a_\nu(x),$$ wo die Kleinschreibung$j$verwendet man für die Materieströme , in diesem Fall die Farbströme der Quarks: $$j^a_\nu(x)= \bar\psi(x)\gamma_\nu T_a \psi(x) = \bar \psi\gamma_\nu \frac{\lambda_a}{2}\psi,$$ Wo$T^a$sind die Generatoren von$SU(3)$Und$\lambda_a$die Gell-Mann-Matrizen.

Jetzt.

In Gl. 1, bring die$f_{abc}...$etwas auf die rechte Seite und Sie erhalten:

$$\tag{2} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x) = \color{red}{J}^a_\nu(x).$$

Jetzt das$J^a_\mu = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x)$Ist:

• Der Strom, der in der Differentialform erscheint: $$\partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = \color{black}{J}^a_\nu(x) \quad \leftrightarrow \quad \mathrm{d}F = J$$
• Dieser Strom ist der „Noether“-Strom. Der (erste) Satz von Noether gilt nur für globale Symmetrien, während QCD eine lokale ist$SU(3)$Symmetrie, sodass Noethers Formalismus genau genommen nicht so stark zutreffen würde.
  Aber wenn Sie einen Yang-Mills-Lagrangian annehmen $$\mathcal{L}_{\text{YM}} = \mathcal{L}_{\text{field}} + \mathcal{L}_{\text{matter}}$$ und wenden Sie die übliche Formel für den Noetherstrom an $$J^\mu = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\mu \varphi_i)}\delta \varphi_i,$$ du würdest bekommen: $$J^\mu \propto \delta \mathcal{L}_{\text{YM}} \propto \delta\mathcal{L}_{\text{field}} + \delta\mathcal{L}_{\text{matter}},$$ dh zwei Dinge, die den zwei Bits in entsprechen$J^a_\mu$über den Stichpunkten. Und schönerweise bestätigen wir, dass der mit der Materie
  
  verbundene Strom tatsächlich Teil des Yang-Mills-Lagranges ist$j^a_\mu$wie wir am Anfang der Antwort erwähnt hatten.
  
  Das kommt von Noethers Theorem$J^\mu$ist auch konserviert nach: $$\partial_\mu J^\mu = 0.$$

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Also zurück zum aktuellen Thema$j^a_\nu$. Ist es "kovariant" konserviert?

Glücklicherweise können wir von Gl. 1 und verwenden Sie die kovariante Ableitung:

$$D^{ab}_\mu = \delta^{ab}\partial_\mu + f_{abc}A^{c}_\mu$$ Gl. umschreiben 1 als: $$D^\mu F^a_{\mu\nu} = -j_\nu^a(x),$$ also dasselbe wie Ihre dritte Gleichung, aber mit Kleinbuchstaben$j$dh der Materiestrom (Quarks).

Und wie Sie selbst gezeigt haben, erhalten Sie am Ende:

$$D_\mu j^\mu_a =0,$$ also ja, der Materiestrom ist "kovariant" erhalten.

Aber jetzt dürft ihr sagen: „Was ist, wenn ich schreibe$D^\mu$als$\partial^\mu + \dots$, wo dann$\partial^\mu j^a_\mu =0$und mir bleibt das andere Stück übrig".

Die Begründung bzgl$\partial^\mu j^a_\mu =0$wäre ein weiteres Noether-Theorem, das jedoch nur auf den Materieteil des Lagrangians angewendet wird. Wenn Sie also nur das bisschen berücksichtigen, dann geben Sie sich einfach damit zufrieden$\partial^\mu j^a_\mu =0$wodurch Sie Farbströme erhalten.

Aber wenn Sie die kovariante Ableitung einbringen wollen, dann müssen Sie auch den Eichfeldteil der Lagrangian berücksichtigen und dann die berücksichtigen$J^\mu$"voller" Strom, der oben diskutiert wurde.

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Und wie bei Ihrer GR-Verbindung ganz am Ende, beachten Sie, dass GR keine Yang-Mills-Theorie ist, sodass Sie nicht so leicht Parallelen zwischen den beiden ziehen können. Am Ende dieser Antwort finden Sie jedoch eine quantitativere Diskussion zu diesem Punkt.