Unendliche Erhaltungssätze, die den Satz von Noether auf die lokale U(1)U(1)U(1)-Symmetrie von QED anwenden

Der Lagrange-Operator von QED ist

$$\begin{equation} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\big(i\not{D}-m\big)\psi \end{equation}$$

Wo$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$Und$\not{D}=\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu)$. Hier$A_\mu$ist das EM-Eichfeld und$q$ist die Ladung des Elektrons. Dieser Lagrangian hat a$U(1)$Symmetrie messen

$$\begin{equation} \begin{cases} \psi\rightarrow\psi'=e^{iq\alpha(x)}\psi \\ \bar{\psi}\rightarrow\bar{\psi}'=e^{-iq\alpha(x)}\bar{\psi} \\ A_\mu\rightarrow A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\alpha(x) \end{cases} \end{equation}$$

Wo$\alpha(x)$ist eine glatte willkürliche Funktion der Raumzeitkoordinate$x^\mu$. Nun wenden wir die Definition des Noetherstroms an

$$\begin{equation} J^\mu=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta (\partial_\mu\phi_a)}\delta \phi_a \end{equation}$$ (wobei ich den zusätzlichen Term aufgrund der Lagrange-Änderung in einer Gesamtableitung seitdem nicht hinzufüge$\delta\mathcal{L}=0$). Also bekommen wir

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+F^{\mu\nu}\partial_\nu\alpha(x) \end{equation}$$

Wenn$\alpha(x)=constant$wir gewinnen die übliche elektrische Ladung zurück. Nun möchte ich zwei Fragen zum Gesamtstrom ansprechen$J^\mu$für willkürlich$\alpha(x)$.

Erste Frage: In vielen Lehrbüchern wird gesagt, dass globale Symmetrien Erhaltungssätze liefern, die auf der Schale erfüllt sind, während lokale Symmetrien Erhaltungssätze liefern, die außerhalb der Schale erfüllt sind. Für den globalen Teil ist klar, dass dies zutrifft: Der Strom ist gerade (Einstellung$\alpha=1$)

$$\begin{equation} J^\mu|_{\alpha=1}=-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

Da die Bewegungsgleichung für die Eichfelder lautet

$$\begin{equation} \partial_\nu F^{\mu\nu} =-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

das kapieren wir sofort$\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$. Der Strom wird also beibehalten, wenn die EoM erfüllt sind. Nun stellt sich die Frage: Wie können wir das auch überprüfen$J^\mu$ist identisch null off-shell oder so$\partial_\mu J^\mu$ist null off-shell?

Zweite Frage: Wenn wir weiter am vollen Strom arbeiten, können wir die Leibniz-Regel verwenden, um zu kommen

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big]-\partial_\nu F^{\mu \nu}\alpha(x) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\alpha(x)\Big[-q\bar{\psi}\gamma^\mu\psi-\partial_\nu F^{\mu \nu}\Big]+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big] \end{equation}$$

Wenn wir nun das EoM anwenden, verschwindet der erste Term. Wir haben eine totale Ableitung übrig. Wenn wir die Gesamtladung in einem bestimmten Volumen finden$V$wir bekommen

$$\begin{equation} Q=\int_V J^0 d^3x = \int_V \partial_\nu\big[F^{0 \nu}\alpha(x)\big] d^3x= \int_S \vec{E}\cdot \hat{n} \ \alpha(x) dS \end{equation}$$

Nun, wenn das Volumen, das wir wählen, das gesamte Universum ist und wenn das elektrische Feld und die Eichbedingung$\alpha(x)$schön bis unendlich zerfallen (siehe meine andere Frage, wo ich frage, warum das so ist$\alpha(x)$müssen im Unendlichen zerfallen [1]), dann ist die Gesamtladung im Universum Null. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Symmetrie nicht real oder nicht nützlich ist. Ich könnte auch ein beliebiges anderes Volumen wählen und ein perfekt funktionierendes Erhaltungsgesetz für eine neue Größe erhalten, deren Ladung das elektrische Feld an der Grenze des gewünschten Volumens ist, gewichtet mit einer beliebigen Funktion$\alpha(x)$. Die Frage ist also: Warum ist diese Erhaltungsgröße nicht physikalisch?

[1] Warum verlangen wir, dass die Eichbedingung$\alpha(x)$fällt bei unendlich ab?