Welcher Erhaltungssatz entspricht dieser lokalen U(1)U(1)U(1)-Symmetrie des CCR?

Es ist bekannt, dass kanonische Kommutierungsbeziehungen die Form des Impulsoperators nicht festlegen. Das heißt, wenn kanonische Kommutierungsrelationen (CCR) gegeben sind durch

[ X ^ ich , P ^ J ]   =   ich ℏ   δ J ich   1

sie können durch die folgende Wahl von Impulsoperatoren erfüllt werden:

P X = − ich H ∂ ∂ X + ∂ F ∂ X

P j = − ich H ∂ ∂ j + ∂ F ∂ j

P z = − ich H ∂ ∂ z + ∂ F ∂ z

Wo F ( X , j , z ) - willkürliche Funktion.

Andererseits für jede Wahl von F ( X , j , z ) Impulsoperatoren können in ihre am häufigsten verwendete Form umgewandelt werden ( − ich H ∂ ∂ X ) (usw. für j Und z ) durch die folgende Transformation der Wellenfunktion ψ und Betreiber P :

ψ ' = e − ich H F ( X , j , z ) ψ

P X ' = e − ich H F ( X , j , z ) P X e + ich H F ( X , j , z ) = − ich H ∂ ∂ X

Daher erhalten wir U ( 1 ) Eichtransformation, die nur kanonische Kommutierungsbeziehungen für Impuls- und Positionsoperatoren verwendet.

Bedeutet dies das U ( 1 ) Eichinvarianz eher der Impulserhaltung als der Ladungserhaltung entspricht?

Antworten (1)

1) Wenn wir die Transformation von OP interpretieren 1 als passive Transformation , also eine bloße Änderung von Koordinaten/Beschreibung, die das System nicht verändert, dann gibt es kein Erhaltungsgesetz.

2) Lassen Sie uns also im Folgenden die Transformation von OP als aktive Transformation interpretieren.

Damit ein System eine Symmetrie hat, ist seine Aktion S (oder genauer gesagt, in diesem quantenmechanischen Kontext, sein Hamilton-Operator H ^ ) muss diese Symmetrie respektieren. Das entsprechende Erhaltungsgesetz würde von der spezifischen Form des Hamilton-Operators abhängen H ^ . Das ist alles, was wir über QM zu sagen haben.

3) Schließlich können wir in einem feldtheoretischen Kontext die Transformation von OP interpretieren

(1) ℏ ich ∇   ⟶   e − ich Λ ( R ) ℏ ich ∇ e ich Λ ( R )

als reine Eichtransformation in einer elektromagnetischen Theorie mit elektromagnetischer Feldstärke Null.

Als EM-Theorie interpretiert führt die globale Eichsymmetrie einerseits zur Erhaltung der elektrischen Ladung, vgl. Noethers erster Satz . Siehe auch diese Phys.SE-Frage.

Andererseits gibt es keine Erhaltungsgröße, die per se mit lokaler Pegelsymmetrie verbunden ist, vgl. Zweiter Satz von Noether . (Seine Off-Shell-Noether-Identität ist eine Trivialität. Siehe auch diese Phys.SE-Frage.)

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1 Die Transformation von OP hängt mit der Wahl von Phasenfaktoren in Überlappungen zwischen Orts- und Impuls-Eigenzuständen in QM zusammen, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.

Welcher Erhaltungssatz entspricht dieser lokalen U(1)U(1)U(1)-Symmetrie des CCR?
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