Was ist die Erhaltungsgröße eines skaleninvarianten Universums?

Die Symmetrie, nach der Sie fragen, wird normalerweise als Skalentransformation oder Dilatation bezeichnet und gehört zusammen mit Poincare-Transformationen und konformen Transformationen zur Gruppe der konformen Isometrien des Minkowski-Raums. In einer großen Klasse von Theorien kann man einen "verbesserten" Energie-Impuls-Tensor konstruieren$\theta^{\mu \nu}$so dass der den Skalentransformationen entsprechende Noetherstrom gegeben ist durch$s^\mu=x_\nu \theta^{\mu \nu}$. Das räumliche Integral der Zeitkomponente von$s^\mu$ist die Erhaltungsladung. Deutlich$\partial_\mu s^\mu = \theta^\mu_\mu$also die Erhaltung von$s^\mu$ist gleichbedeutend mit dem Verschwinden der Spur des Energie-Impuls-Tensors. Es sollte beachtet werden, dass die meisten Quantenfeldtheorien unter Skalen- und konformen Transformationen nicht invariant sind. Diejenigen, die konforme Feldtheorien genannt werden, wurden sehr detailliert in Verbindung mit Phasenübergängen (wo die Theorie am Übergangspunkt skaleninvariant wird), der Stringtheorie (die zweidimensionale Theorie auf dem String-Weltblatt ist a CFT) und einige Teile der Mathematik (das Studium der Vertex-Operator-Algebren ist das Studium einer bestimmten Art von CFT).

vielen Dank für die nette Frage. Es bezieht sich direkt auf die Themen der konformen Feldtheorien . Ich habe in einem anderen Forum einen sehr netten Thread gefunden, in dem Ihre Frage vermutlich beantwortet wurde.
Trotzdem werde ich versuchen, die wichtigsten Punkte hier zusammenzufassen und vielleicht einige Punkte hinzuzufügen.

Symmetrien in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie entsprechen Symmetrien einer Isometrie der Metrik $g=g_{ab}dx^a dx^b$, sagen$\varphi^\star g = g$. Das heißt, bewegt man sich auf dem Weg einer solchen Symmetrie, ändert sich diese nicht. Dies kann in Form der Lie-Ableitung ausgedrückt werden .

wobei die Klammer für die Symmetrisierung über Indizes und steht$v = \dot\varphi(t)$ist das zugeordnete Vektorfeld$\varphi$. Sehr schöne einführende Berechnungen dazu findet man in Robert M. Wald: General Relativity und Hans Stephani's Introduction to Special and General Relativity .

Wenn$n$ist eine geodätische Einheit, weitere Integration von

führt zu Erhaltungsgrößen da

Berühmte Beispiele sind Masse$M$(oder Energie) für eine stationäre Raumzeit oder Drehimpuls$J$für axiale Symmetrie (ja, man kann einer Raumzeit einen Drehimpuls zuordnen, fand ich anfangs rätselhaft),

Konforme Isometrien

Nun ist die Situation etwas anders. Ein konformer Killing-Vektor $c$ergibt sich nun eine Symmetrie der Form

In Ihrem Fall zwingen Sie$\omega = 1$aber das ist nicht von großer Bedeutung, wie Sie gleich sehen werden.

Was passiert mit der „Erhaltungsgleichung“? Wir haben

was nur Null ist, wenn$n^a n_a = 0$, eine Null-Geodäte. Also nur für eine ganz besondere Klasse von Bewegungen, hier Lichtteilchen, findet man eine Symmetrie. Dies wurde jedoch erwartet, da konforme Transformationen den Winkel nicht ändern und somit die Lichtbewegung nicht beeinträchtigt wird.

Ich glaube nicht, dass das eine konservierte Größe im Sinne von Emmy Noether ist.

Aufrichtig

Robert

PS.: Ich entschuldige mich für etwaige Unannehmlichkeiten bezüglich der Notation. Ich hoffe, aus dem Zusammenhang ist alles klar.

Jeff Harvey hat Ihnen natürlich die perfekte, standardisierte Antwort gegeben: Die Skaleninvarianz läuft auf die Spurlosigkeit des Stress-Energie-Tensors hinaus. Aber die Spurlosigkeit ist nicht wirklich eine "konservierte Größe" im üblichen Sinne, auf die Sie vielleicht gewartet haben.

Man kann das Problem jedoch in eine Erhaltungsgröße im üblichen Sinne umwandeln.

Insbesondere können Sie Ihr skaleninvariantes Universum nehmen und an einem ausgewählten Punkt ein punktartiges Objekt einfügen, das ich den Ursprung nennen werde. In der Quantenfeldtheorie wird dies erreicht, indem mit einem lokalen Operator am Ursprung auf den Vakuumzustand eingewirkt wird.

Die Transformationen, die die Skaleninvarianz beweisen, sind nur radiale Erweiterungen, die den Ursprung unberührt lassen. Die Gesetze der Physik sind unter diesen Transformationen nach Annahme invariant, und diese Symmetrie ist äquivalent zur Erhaltung der Dimension des Operators aus dem vorherigen Absatz. Aber seine Erhaltung nicht in Bezug auf die normale Evolution in der Zeit, sondern die Evolution in der "radialen Zeit",$\ln(r)$. Folglich sind die Dimensionen aller Operatoren in skaleninvarianten Theorien wohldefiniert. In Skalen-nicht-invarianten Theorien würden sie von der Renormierungsskala abhängen.

Ich habe diese verbale Übung hinzugefügt, um zu betonen, dass die Skalentransformationen in einer skaleninvarianten Theorie analog – und in einem sehr genau definierten mathematischen Sinne äquivalent – ​​zu gewöhnlichen Übersetzungen in der Zeit sind. Um ein bisschen konkret zu werden, denken Sie an zweidimensionale euklidische Theorien. Die komplexe Koordinate$z$kann geschrieben werden als$\exp(a+ib)$. Hier,$b$ist eine periodische Winkelvariable mit Periodizität$2\pi$. Jedoch,$a$ist real und geht aus$-\infty$zu$+\infty$.

Die Skalentransformationen sind nichts anderes als die gewöhnlichen Übersetzungen in$a$die mit einem Hamiltonoperator verknüpft sind. Sie expandieren zum Beispiel$z$ $e$-mal durch Verschieben$a$einzeln. Und tatsächlich impliziert Skaleninvarianz in 2 Dimensionen die volle konforme Invarianz - unter allen Transformationen, die die Winkel erhalten - also anstatt auf die zu schauen$z=x+iy$Ebene, die Sie sich genauso gut ansehen können$a+ib$Ebene, in der die ursprüngliche Skalierungstransformation wie eine gewöhnliche Übersetzung in der aussieht$a$Richtung. Durch konforme Symmetrie, die Form der Aktion in der$z$und$a+ib$Koordinaten sind identisch.

In höheren Dimensionen ist es nicht ganz richtig, dass Skaleninvarianz (und Lorentz-/Rotationssymmetrie) die volle konforme Symmetrie impliziert, aber in den wichtigen Fällen stimmt es trotzdem.

Beste Grüße Lubos

Es ist ein Standardergebnis in der Theorie der Fraktale, dass jeder Satz von Kontraktionsabbildungen, die sich nicht "zu sehr" überlappen, einen einzigartigen Attraktor haben wird, und außerdem haben diese Attraktoren im Prinzip eine gewisse Hausdorff-Dimension; Ich denke, das ist die unveränderliche Größe, nach der Sie suchen. Siehe zum Beispiel Shakarchi und Stein , Band 3, Kapitel 7, Theorem 2.9.

Strenge kurze Antwort auf die Frage – die Anzahl der Teilchen ist (im Großen und Ganzen) unveränderlich.
Es ist bekannt, dass SM keine Energie erhält, dh Noether gilt nur solange das Verhältnis Materie/Raum konstant ist.
Aus den obigen Antworten sehen wir, dass Sie keine skaleninvariante Theorie kennen, die die physikalischen Gesetze unterstützt.
Die Hauptfrage lautet: Wie kann man zeigen, dass physikalische Gesetze in einem skaleninvarianten Modell gelten? Viele Physiker haben es versucht und sind gescheitert (Dirac, Canuto Hoyle und Narlikar, Maeder und Bouvier, Wesson).
Ich werde eine Zusammenfassung von „ Ein selbstähnliches Modell des Universums enthüllen die Natur der dunklen Energie “ von Alfredo G. Oliveira präsentieren, das am 1. Juli 2011 bei PRX eingereicht wurde. (Oh mein Gott, mein Name steht in der Zeitung!)
Wenn wir einem Teilchen, sagen wir einem Atom, das oben grau dargestellt ist, eine Referenz hinzufügen, können wir keine Evolution feststellen. Es ist unsere aktuelle Situation; Wir schauen uns in den Labors um und sind natürlich blind für jegliche Evolution.
Die Frage erwähnt nur eine Änderung der Länge, Lubos Antwort erwähnte auch eine variierende Zeit, aber dieses Verfahren reicht nicht aus, um ein korrektes selbstähnliches Modell zu haben. Es muss auf 'physikalische' Weise geschehen:
Lassen Sie uns ein Atom (das Atom ist unsere Referenz für Masse, Länge, Zeit) der Vergangenheit in das der Gegenwart schrumpfen. Aus Sicht einer externen unveränderlichen Referenz „S“ (Raum) änderte sich die Längeneinheit, und auch die Masseneinheit änderte sich und auch die Zeiteinheit änderte sich, weil die Lichtgeschwindigkeit die Konstante c ist – es ist eine Eigenschaft des Feldes/Raumes.
Es ist offensichtlich, dass ein atomarer Beobachter (gebunden an seine atomare Referenz) eine Raumausdehnung sieht. Die kosmologische Rotverschiebung des Lichts von Galaxien (weit entfernt in Zeit und Entfernung) zeigt die Tatsache, dass die atomaren Prozesse in der Vergangenheit langsamer waren als in der Gegenwart.
Sei$M(t_S)=Q(t_S)=L(t_S)=T(t_S)=\alpha(t_S)$die Beziehung, die die Entwicklung von Einheiten durch die Zeit beschreibt, wie sie von S in Bezug auf die Einheiten des atomaren Beobachters ($\alpha(t_S)$ist das Skalierungsgesetz).
Es wird in dem Papier abgeleitet, indem es nur die Gesetze der Physik verwendet, keine Hypothesen aufstellt und nur von gemessenen Daten abgeht, die das Skalierungsgesetz ist$\alpha(t_S) = e^{-H_0\cdot t_S}$.
Zitieren der Zusammenfassung und der Schlussfolgerungen

Henry Poincaré analysierte, wie wir Informationen gewinnen, und betonte die relative Natur unserer Daten und dass unsere Wahl der Einheiten der Bequemlichkeit dient, die einfachste Form physikalischer Gesetze zu erhalten;
Einstein analysierte, wie wir Referenzrahmen kalibrieren, wie wir Ereignissen Koordinaten zuordnen, welche Art von Zeit- und Längeneinheiten wir verwenden;
hier wird die Reflexion zu diesem Thema auf die Eigenschaften der Einheiten ausgedehnt, wodurch wir verstehen konnten, dass die Invarianz von Teilchen in Standardeinheiten eine Eigenschaft dieser Einheiten und nicht der Teilchen ist; es wurde auch deutlich, wie die Raumausdehnung ein selbstähnliches Phänomen nachzeichnen kann und es wurde eine wichtige, bisher unbeachtete Eigenschaft der Einheiten von Feldkonstanten gefunden, die in der Lage ist, die beobachtete Raumausdehnung zu unterstützen. Aus zwei akzeptierten Beobachtungsergebnissen, der Invarianz von Konstanten und der skalaren Raumausdehnung, und unter Berücksichtigung, dass die beobachtete Raumausdehnung Folge eines selbstähnlichen Phänomens ist, wird ein Modell abgeleitet, das sowohl die klassischen kosmischen Tests als auch die bestätigt$\Lambda$CDM-Modell, obwohl es nur einen Parameter, den Hubble-Parameter, hat. Dieses Modell hat überraschende Eigenschaften, nämlich:
(1) Es gibt keinen theoretischen Konflikt mit fundamentalen physikalischen Gesetzen, sondern um einen neuen Term in einem Erhaltungssatz, der jenseits der gegenwärtigen Möglichkeiten der direkten Messung liegt.
(2) Die Standard-Einheitensysteme verlieren ihre privilegierte Rolle, physikalische Gesetze gelten auch in einem räumlich mitbewegten Einheitensystem.
(3) In Standardeinheiten unterstützt dieses Modell die gleiche Beschreibung des Universums der$\Lambda$CDM-Modell. Obwohl dieses Skalierungsmodell kein kosmologisches Modell ist, liefert es einige Beiträge zur Kosmologie, nämlich:
(1) Der Raum ist älter als die Materie.
(2) Materie, Feld und Strahlung verschwinden in Raumeinheiten.
(3) Eine einfache Erklärung ergibt sich für die fehlende Neigung zum Gravitationskollaps.
(4) Die Rollen der Dunklen Energie und der kosmologischen Inflation werden deutlich gemacht.
Dieses Papier ist nur das erste von dreien; Das zweite Papier analysiert die Konsequenzen dieses Modells auf der Skala des Sonnensystems und das dritte analysiert die großräumige Struktur des Universums.
Bisher wurde das Wissen über das Universum in Einheiten etabliert, in denen atomare Eigenschaften unveränderlich sind; Diese Einheiten eignen sich sehr gut zur Beschreibung von Körpersystemen, aber wenn sie zur Beschreibung von Raumeigenschaften verwendet werden, ist das Ergebnis rätselhaft. Diese Grenze überschritten zu haben, ist eine große Errungenschaft dieser Arbeit.

Natürlich kann man argumentieren: 'Ich glaube nicht, dass das Atomen passieren kann!' und ich werde argumentieren: „Wie kann sich der Raum ausdehnen?“.
Das Papier ist hier erhältlich (das arxiv ist für meinen Freund Alfredo geschlossen, wahrscheinlich kann nicht einmal Perelman arxiv mehr verwenden). Ich kenne dieses Modell seit 1991, und eine vorläufige Version ist im arxiv von 2002 zu finden; Damals war die Öffentlichkeit nicht darauf vorbereitet, dieses Modell zu lesen, und ich gehe davon aus, dass wir uns zu einer reiferen Position entwickelt haben.