Physikalische Interpretation der Erzeuger der konformen Symmetrien

Für jede der Transformationen gibt es eine physikalische Interpretation. Die konformen Transformationen bestehen, wie Sie bemerkt haben, aus Übersetzungen$x'^\mu = x^\mu + a^\mu$was den Schwung hat$P_\mu = -i\partial_\mu$als Generator. Das andere sind Dilatationen,$x'^\mu=\alpha x^\mu$mit Generator$D = -ix^\mu\partial_\mu$, und eine Dehnung ist nichts anderes als eine Neuskalierung. Wir haben auch Rotationen,$x'^\mu = M^\mu_\nu x^\nu$mit$L_{\mu\nu} = i(x_\mu\partial_\nu - x_\nu \partial_\mu)$.

Die interessante Transformation, die physikalisch nicht sofort offensichtlich ist, ist die spezielle konforme Transformation , die die endliche Darstellung hat,

Bei Betrachtung ist es nicht offensichtlich, aber es entspricht tatsächlich einer Inversion, gefolgt von einer Translation und einer weiteren Inversion. Das ist,

Ich ermutige Sie, zu überprüfen, ob dies die endliche Darstellung der SCT ergibt. Das Buch von Blumenhagen hat eine schöne Illustration davon:

Die sehr interessante Arbeit "Electric-Magnetic Symmetry and Noether's Theorem" gibt die Ausdrücke für die Generatoren der konformen Symmetrie in der klassischen E&M an (beachten Sie, dass diese Größen in der QED nicht erhalten bleiben, da die konforme Symmetrie anomal ist und Quanteneffekte sie spontan brechen) . Wenn wir den Maxwell-Spannungs-Energie-Tensor mit bezeichnen$T^{\mu \nu}$, dann wird Dilitationssymmetrie erzeugt durch$D^\mu := x_\nu T^{\mu \nu}$und die spezielle konforme Transformation für$x^\mu$wird generiert durch$I^{\mu \nu} := 2 x^\mu D^\nu - x^2 T^{\mu \nu}$. Weiter heißt es in der Zeitung

... Bessel-Hagan kommentierte, dass 'die Zukunft zeigen wird, ob sie irgendeine physikalische Bedeutung haben.' Es scheint, dass ihre physikalische Bedeutung immer noch nicht verstanden ist ... Die Unabhängigkeit von [$I^{\mu \nu}$] von den anderen wurde in Frage gestellt ... Für eine einzelne ebene Welle ist die Erhaltung [von$D^\mu$] kann als Aussage der bekannten Dispersionsrelation interpretiert werden$\omega = c |k|$.

Neben der Poincare-Gruppe sind die anderen fünf Generatoren:

-Dilatationen: Dies sind die offensichtlichsten, sie skalieren die Koordinaten einheitlich neu. Grundsätzlich Skalierungstransformationen

-Spezielle konforme Transformationen: Diese sind weniger offensichtlich, sie erzeugen Übersetzungen der invertierten Koordinaten, also$X^\mu$/$X^2$----->$X^\mu$/$X^2$+$A^\mu$@JamalS zeigt eine Abbildung mit der geometrischen Interpretation dieser umgekehrten Übersetzungen

Siehe zum Beispiel auch die mathematischen Eigenschaften der konformen Gruppe unter http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/classes/13f/SCA.pdf neben dem grundlegenderen Wiki-Artikel

Die konformen Transformationen sind unter anderem aus einer Reihe von Gründen wichtig

1) in der 4D Lorentzschen Raumzeit ist diese Symmetriegruppe eine Darstellung von SO(4,2),

Aus einer Antwort in PSE at ist dies ein Teil des Grundes, warum es eine AdS-CFT-Korrespondenz gibt:

Aus Kommutierungsbeziehungen der Generatoren der konformen Gruppe :

„Eine sehr interessante Sache bei all dem: Sie fragen sich vielleicht, was eine Raumzeit ist, in der SO(4,2) wirklich nur verallgemeinerte Rotationen sind (im Gegensatz zu Rotationen + SCTs + Dilatationen)? Nun,$AdS_5$ist ein! Dies könnte Ihr erster Hinweis auf die Existenz der AdS-CFT-Korrespondenz sein! Eine CFT in 3+1-dimensionaler Raumzeit gehorcht derselben Algebra wie die Isometrien von$AdS_5$. Siehe "ANTI-DE SITTER SPACE" von Ingemar Bengtsson - die Seiten 1-5 geben eine nette kurze Einführung in die AdS-Raumzeit und ihre Isometrien."

2)Nullkegel in der Minkowski-Raumzeit verwandeln sich unter einer konformen Transformation in Nullkegel. Und diese Symmetrien existieren bei Null Unendlich im Horizont eines Schwarzen Lochs, woraus Hawking und seine Kollegen folgerten, dass es andere konservierte Haare in Schwarzen Löchern gibt, insbesondere weiches Haar, und dass diese möglicherweise (nicht bewiesen, aber angedeutet) tragen die zuvor fehlenden Informationen, von denen angenommen wurde, dass sie verloren gehen, wenn Partikel in die schwarzen Löcher (oder zumindest in den Horizont) fallen.

Siehe das Papier unter https://arxiv.org/abs/1601.00921

3) das gesamte Gebiet der konformen Feldtheorie.