Variation der Aktion unter infinitesimalen willkürlichen Transformationen und dem Satz von Noether

Betrachten wir eine beliebige infinitesimale Transformation der Felder und ihrer Koordinaten:

$$x'^{\mu}= x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \frac{\delta x^{\mu}}{\delta{\omega}^a}{\omega}^a\tag{1}$$

$${\Phi}'(x') = {\Phi}(x) + \delta\Phi= {\Phi}(x) + \frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}{\omega}^a\tag{2}$$

Wo${\{\omega}^a\}$ist ein Satz von infinitesimalen Parametern. Die entsprechende Variante der Aktion ist:

$$\delta S= \delta (\int{dx \,\mathcal{L}[\Phi,\partial^{\mu}\Phi]})=\int{(dx \, \delta \mathcal{L}} +\mathcal{L}\,\delta dx)= \int{dx (\delta \mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}\tag{3}$$

Wenn jetzt

$$\delta=\delta_0 + \delta x^{\mu}\partial_{\mu},\tag{4}$$

Wo:

$\delta_0 \phi (x)=\phi'(x)-\phi(x)$bei der ersten Bestellung, dann wird die Variation:

$$\delta S=\int{dx\,(\delta\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}=\int{dx(\delta_0\mathcal{L}+\delta x^{\mu}\partial_{\mu}\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}$$ $$=\int{dx\,(\delta_0\mathcal{L}+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu}))}=\int{dx\,(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\Phi}}\delta_0\Phi}+\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\partial_\mu\Phi+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu})).\tag{5}$$

Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen und Pendeln$\delta_0$Und$\partial$, das letzte Integral wird zu:

$$\delta S=\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}.\tag{6}$$

Jetzt gehen wir zurück zu$\delta$aus$\delta_0$:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}\tag{7}$$

und schlussendlich:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)} \\ =\int{dx\,\partial_\mu[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\delta x^\nu]}\\ =\int{dx\,\partial_\mu\{[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a}]\delta\omega^a\}}.\tag{8}$$

Jetzt definieren:

$$j^{a\mu} = (\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}\tag{9}$$

wir bekommen schließlich:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu}\delta\omega^a)}.\tag{10}$$

Nehmen wir das mal an$\{\omega^a\}$Sind$x$-unabhängig, so dass:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu})\delta\omega^a}.\tag{11}$$

1. Hier ist meine erste Frage: Muss ich das fragen?$S$ist unveränderlich unter meinen Transformationen, um zu bekommen

   $$\partial_\mu\,j^{a\mu}=0~?\tag{12}$$ Oder kann die Transformation in jedem Fall willkürlich sein $$\delta S = 0\tag{13}$$ für alle infinitesimalen Variationen der Felder, die die dynamischen Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllen?

2. Dann kommt meine zweite Frage. Mein Buch$^{(1)}$sagt, dass, auch ohne Berücksichtigung von EL-Gleichungen, die Variation der Aktion unter infinitesimaler willkürlicher Transformation$(1),(2)$Ist:

   $$\delta S=-\int{dx\,j^{\mu a}\partial_{\mu}\omega^a}\tag{14}.$$ Jetzt weiß ich nicht wie$(14)$könnte ohne Berücksichtigung von EL-Gleichungen abgeleitet werden, weil if$j^{\mu a}$hat nicht$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi}$Begriffe ist nur dank dieser Gleichungen.

$^{(1)}$Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal - Konforme Feldtheorie, Seite 41.