Kann eine Wellenfunktion als aktive Transformation des metrischen Tensors geschrieben werden?

Untersuchen wir den Dirac-Lagrange-Operator der Quantenmechanik:

$$\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi=0$$

Wobei der Pfeil die Wirkungsrichtung für die Ableitung angibt. Die Sperrwellenfunktion kann geschrieben werden als:

$$\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$$

Wobei der Dolch die konjugierte Transponierte bezeichnet. Dann haben wir:

$$\psi^{\dagger}\gamma^{0}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi=0$$

In Diskussionen über Stromerhaltung ist es sehr üblich, auch die adjungierte Dirac-Gleichung zu untersuchen:

$$\psi^{\dagger}\gamma^{0}\left(i\gamma^{\mu}\overleftarrow{\partial}_{\mu}+mc^{2}\right)\psi=0$$

Wobei die Ableitung jetzt nach links wirkt. Wenn wir beide zusammen addieren, erhalten wir eine Erhaltung der Stromgleichung:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\psi\right)=0$$

Das ist alles Standard, meine Frage hier ist, können wir einen anderen, äquivalenten Dirac Lagrangeian der Form definieren:

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi^{,}=0$$

Wo:

$$\psi^{,}=\gamma^{0}\psi$$

Was zusammen mit seiner adjungierten Gleichung:

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overleftarrow{\partial}_{\mu}+mc^{2}\right)\gamma^{0}\psi=0$$

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\gamma^{0}\psi=0$$ definiert auch einen Erhaltungsstrom

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\psi\right)=0$$ Wenn wir nun alle vier unserer Ausdrücke kombinieren, erhalten wir:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\psi\right)+\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\psi\right)=0$$ oder vielleicht bekannter:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}g^{0\mu}\psi\right)=0$$

Das ist nur die Bedingung, dass:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}Ig^{\nu\mu}\psi\right)e_{0}=0$$

Wo ich die Identität ist$4x4$Matrix. Von diesem Standpunkt aus$\psi$scheint einfach die Rolle einer Koordinatentransformation zu spielen, oder genauer gesagt einer aktiven Transformation, die die physikalischen Eigenschaften der Metrik ändert.

Beachten Sie, dass der Strom ein Integrand ist und man hier das Gaußsche Gesetz anwenden kann, um eine Gleichung zweiter Ordnung zu erhalten. Also nochmal meine Frage:

Ändern wir irgendetwas physisch, indem wir den Wechsel vornehmen:

$$\psi\Longrightarrow\gamma^{0}\psi$$

anstatt:

$$\psi^{\dagger}\Longrightarrow\psi^{\dagger}\gamma^{0}$$

Im Dirac Lagrange?