Ist das Erhalten der Koordinatendarstellung des Impulsoperators vom Kommutator grundlegender als der Generator der Übersetzung

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Es gibt zwei Methoden, um die Koordinatendarstellung des Impulses in der Quantenmechanik zu erhalten.

$$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{1}$$

Der erste stammt vom kanonischen Kommutator

$$[x,p]=i \tag{2}$$ Wie in Diracs Prinzipien der Quantenmechanik, 4. Auflage, Abschnitt 22, gezeigt wird, gibt es tatsächlich eine Mehrdeutigkeit in diesem Verfahren. $$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + F' \delta (x-y) \tag{3}$$ Wo $F':=dF/dx$ist eine Ableitung einer allgemeinen Funktion $F(x)$(Ich ändere die Gleichung in Diracs Buch leicht ab).

Gl. (3) erfüllt den Kommutator (1), impliziert aber einen willkürlichen Wert der Impulserwartung. Wie von Dirac bemerkt, kann diese Mehrdeutigkeit aus einem lokalen Phasenfaktor entfernt werden$\psi \rightarrow e^{-iF(x)} \psi$.

Der zweite bezieht sich auf den Impulsoperator, der der Generator der Übersetzung ist, wie in Sakurais moderner Quantenmechanik, 1. Auflage, S. 54, angegeben.

$$( 1- \frac{ i p \Delta x'}{\hbar} ) | \alpha \rangle = \int dx' \mathcal{F} (\Delta x') | x ' \rangle \langle x | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' + \Delta x' \rangle \langle x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \langle x' - \Delta x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \left( \langle x'| \alpha \rangle - \Delta x' \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x' | \alpha \rangle \right). \tag{1.7.15}$$

Vergleich beider Seiten ergibt

$$p | \alpha \rangle = \int dx' | x' \rangle \left( - i \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \right) \tag{1.7.16}$$ $$\langle x' | p | \alpha \rangle = - i \frac{ \partial }{ \partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \tag{1.7.17}$$

Es scheint, dass die Willkür wie Gl. (3) ist im zweiten Ansatz verborgen.

Meine Fragen sind:

(i) Hat Dirac bereits den Ursprung der Eichinvarianz entdeckt? Wenn wir nicht vom Kommutator ausgehen, kann ich sagen, es gibt keine Eichinvarianz. Ein lokaler Phasenfaktor würde den Erwartungswert des Impulses modifizieren, daher können wir nur einen globalen Phasenfaktor haben, der demselben Zustand entspricht. Da der lokale Phasenfaktor jedoch vom Kommutator kommt, muss es sich um eine Redundanz handeln.

(ii) Ist die erste Methode, vom Kommutator, grundlegender als der Übersetzungsgenerator? Da wir die Eichinvarianz aus der ersten Methode finden können.