Was passiert mit der globalen U(1)U(1)U(1)-Symmetrie in alternativen Formulierungen der Quantenmechanik?

Dies wird nur eine Teilantwort sein, ich hoffe, das ist in Ordnung.

In der Schrödinger-Quantenmechanik arbeitet man meist mit komplexen Vektoren$\Psi$die normalisiert sind als$\|\Psi\| = 1$. Dies lässt immer noch die Freiheit, a zu wählen$U(1)$Phase. Dies ist jedoch keine Symmetrie und hat insbesondere nichts mit Ladungserhaltung zu tun.

1) Wenn Sie sich an die Axiome der Quantenmechanik erinnern, sagen sie, dass physikalische Zustände durch Strahlen im Hilbert-Raum repräsentiert werden, dh durch komplexe eindimensionale Unterräume$\mathbb{C} \Psi$. Bei Berechnungen ist es oft sinnvoll, einen bestimmten Vertreter dieser Äquivalenzklasse zu wählen$\Psi$und formulieren Sie eine Evolutionsgleichung für diesen Vertreter. Allerdings sind die resultierenden Strahlengänge$\mathbb{C} \Psi(t)$, kann nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängen, da alle Vektoren in einem Strahl physikalisch nicht unterscheidbar sind. Daher die "Symmetrie" unter Phasendrehungen. Wenn es fehlen würde, hätten wir einen Fehler gemacht!

2) In der Vielteilchen-Quantenmechanik kann ein gegebener Hamiltonoperator die Teilchenzahl oder die elektrische Ladung erhalten oder auch nicht. Bezeichne mit$N$der Operator hat den Eigenwert$n$bei Anwendung auf a$n$-Partikelvektor$\Phi$. Dann ist die$U(1)$-Symmetrie im Zusammenhang mit der Teilchenzahlerhaltung ist

$U(1) \ni e^{i \varphi} : \Psi \mapsto e^{-i N \varphi} \Psi$,

Das heißt, es dreht sich alles$n$-Teilchenkomponenten der Wellenfunktion mit unterschiedlicher Phase. Dies ist kein Repräsentantenwechsel in einem Strahl und somit physikalisch sinnvoll. Beachten Sie, wie dies in der zweiten Quantisierung aussieht, dh führen Sie einen Operator ein$a(\psi)^\dagger$mit$\psi$eine einzelne Teilchenwellenfunktion und

$a(\psi)^\dagger \Omega = \psi$

Wo$\Omega$ist das Fock-Vakuum. Dann das oben$U_1$Symmetrietransformation induziert eine Aktion von Operatoren durch

$U(1) \ni e^{i \varphi} : a(\psi)^\dagger \mapsto e^{i N \varphi} a(\psi)^\dagger e^{-i N \varphi} = e^{i \varphi} a(\psi)^\dagger$

3) Im Pfad-Integral-Formalismus für$n$-body bosonischen Quantenmechanik verwendet man oft die Darstellung im Sinne von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, das heißt, die Wirkung ist ein Funktional der komplexen Funktionen$\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n}$:

$S[a(t)] = \int_{t_i}^{t_f} \left[ \sum_i \overline{a}_i(t)\partial_t a_i(t) - H(\{a_i(t)\}_{i=1,2,\cdots n})\right] d t$

und das System behält die Partikelzahl bei, wenn sie darunter unveränderlich ist$U(1)$Phasendrehungen der Operatoren.

In der Pilotwellenformulierung die Freiheit, Phasenscheiße der Wellenfunktion auszuführen$\Psi$entsprechen der Freiheit, der Lagrange-Funktion eine Gesamtzeitableitung hinzuzufügen:

Dies kommt zustande, weil wir zur Ableitung der Gleichungen der Pilotwellenformulierung den Ansatz verwenden

Dies führt zu zwei Gleichungen: der Kontinuitätsgleichung und der Hamilton-Jacobi-Gleichung, die uns sagt, dass wir interpretieren können$S$als Aktion.

Nun ist eine Phasenverschiebung der Wellenfunktion gemeint

(In diesem Sinne sind Eichtransformationen eine spezielle Art der bekannten kanonischen Transformationen, vgl. diesen Artikel .)