Wann ist eine globale Symmetrie messbar?

Der Leitsatz lautet: „Anomale Symmetrien lassen sich nicht ermessen“. Das Phänomen der Anomalien ist nicht auf Quantenfeldtheorien beschränkt. Anomalien gibt es auch in klassischen Feldtheorien (ich habe versucht, diesen Punkt in meiner Antwort auf diese Frage zu betonen ).

(Wie bereits in der Frage erwähnt) ist auf der klassischen Ebene eine Symmetrie anomal, wenn sich die Lie-Algebra ihrer Realisierung in Bezug auf die Felder und ihre konjugierten Impulse (dh in Bezug auf die Poisson-Algebra der Lagrange-Feldtheorie) entwickelt eine Erweiterung in Bezug auf seine Wirkung auf die Felder. Genau das ist bei der komplexen Feldverschiebung auf dem Schrödinger Lagrangian der Fall.

In galiläischen (klassischen) Feldtheorien geht mit der Existenz von Anomalien die Bildung eines totalen Ableitungsinkrements zum Lagrange-Operator einher, was sich wiederum im Fall der Feldverschiebungssymmetrie des Schrödinger-Lagrange-Operators manifestiert, aber nicht generell erforderlich ist . (Siehe bitte noch einmal meine Antwort oben, die sich auf die Erzeugung von Masse als zentrale Erweiterung in der Galileischen Mechanik bezieht).

In einer moderneren Terminologie wird die Unmöglichkeit des Messens als Hindernis für äquivariante Erweiterungen der gegebenen Lagrange-Operatoren bezeichnet. Eine nichttriviale Familie klassischer Lagrangianer, die nichttriviale Hindernisse aufweisen, sind Lagrangianer, die Wess-Zumino-Witten-Terme enthalten. Mit diesen Begriffen lassen sich (klassischerweise) nur anomaliefreie Untergruppen der Symmetriegruppen abschätzen. Diese Untergruppen bestehen genau aus den anomaliefreien. Die Eichung und die Behinderung dafür können unter Verwendung der Theorie der äquivarianten Kohomologie erhalten werden, siehe den folgenden Artikel von Compean und Paniagua und seine Referenzliste.

I) Das Thema der Messung globaler Symmetrien ist ein ziemlich großes Thema, das nur schwer in eine Phys.SE-Antwort passt. Betrachten wir der Einfachheit halber nur eine einzige (und damit notwendigerweise abelsche) stetige infinitesimale Transformation$^1$

$$\tag{1} \delta \phi^{\alpha}(x)~=~\varepsilon(x) Y^{\alpha}(\phi(x),x),$$

wo $\varepsilon$ein infinitesimaler reeller Parameter ist und $Y^{\alpha}(\phi(x),x)$ein Generator ist, so dass die Transformation (1) eine Quasisymmetrie ist$^2$der Lagrange-Dichte

$$\tag{2} \delta {\cal L} ~=~ \varepsilon d_{\mu} f^{\mu} + j^{\mu} d_{\mu}\varepsilon$$

wann immer $\varepsilon$ein $x$-unabhängiger globaler Parameter, so dass der letzte Term auf der rechten Seite. von Gl. (2) verschwindet. Hier $j^{\mu}$Und

$$\tag{3} J^{\mu}~:=~j^{\mu}-f^{\mu}$$

sind der bloße bzw. der volle Noetherstrom. Das entsprechende Schalenerhaltungsgesetz lautet$^3$

$$\tag{4} d_{\mu}J^{\mu}~\approx~ 0,$$

vgl. Noethers erster Satz . Hier $f^{\mu}$sind sogenannte Verbesserungsterme, die nicht eindeutig aus Gl. (2). Unter milden Annahmen ist es möglich, diese Mehrdeutigkeit teilweise zu beheben, indem die folgende technische Bedingung angenommen wird

$$\tag{5}\sum_{\alpha}\frac{\partial f^{\mu}}{\partial(\partial_{\nu}\phi^{\alpha})}Y^{\alpha}~=~(\mu \leftrightarrow \nu),$$

was für das folgende Theorem 1 wichtig sein wird. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die ursprüngliche Lagrange-Dichte

$$\tag{6} {\cal L}~=~{\cal L}(\phi(x), \partial \phi(x); A(x),F(x);x).$$

hängt schon (möglicherweise trivial) von $U(1)$Eichfeld $A_{\mu}$und seine abelsche Feldstärke

$$\tag{7} F_{\mu\nu}~:=~\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.$$

Die infinitesimale abelsche Eichtransformation ist als definiert

$$\tag{8} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon.$$

Wir führen die kovariante Ableitung ein

$$\tag{9} D_{\mu}\phi^{\alpha}~=~\partial_{\mu}\phi^{\alpha} - A_{\mu}Y^{\alpha},$$

was sich kovariant transformiert

$$\tag{10} \delta (D_{\mu}\phi)^{\alpha}~=~\varepsilon (D_{\mu}Y)^{\alpha}$$

unter Messtransformationen (1) und (8). Man kann dann unter milden Annahmen den folgenden Satz 1 beweisen.

Satz 1. Die Eichtransformationen (1) und (8) sind eine Quasi-Symmetrie für die folgende sogenannte geeichte Lagrange-Dichte

$$\tag{11} \widetilde{\cal L}~:=~ \left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}+\left. A_{\mu} f^{\mu}\right|_{\partial\phi\to D\phi}.$$

II) Beispiel: Freie Schrödinger-Feldtheorie. Die Wellenfunktion $\phi$ist ein komplexes (Grassmann-gerades) Feld. Die Lagrange-Dichte lautet (mit $\hbar=1$):

$$\tag{12} {\cal L} ~=~ \frac{i}{2}(\phi^*\partial_0\phi - \phi \partial_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(\partial_k\phi)^*\partial^k\phi.$$

Die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung ist die freie Schrödinger-Gleichung

$$0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi^*} ~=~ i\partial_0\phi~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi$$ $$\tag{13} \qquad \Leftrightarrow \qquad 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta\phi} ~=~ -i\partial_0\phi^*~+\frac{1}{2m}\partial_k\partial^k\phi^*.$$

Die infinitesimale Transformation ist

$$\tag{14} \delta \phi~=~Y\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta \phi^*~=~Y^*\varepsilon^*,$$

wo $Y\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$ist eine feste komplexe Zahl ungleich Null. Beachten Sie, dass der obige Satz 1 nur auf eine einzige reelle Transformation (1) anwendbar ist. Hier versuchen wir, Theorem 1 auf eine komplexe Transformation anzuwenden , also werden wir vielleicht keinen Erfolg haben, aber mal sehen, wie weit wir kommen. Die komplexen Noetherströme sind

$$\tag{15} j^0~=~ \frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad j^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*, \qquad k~\in~\{1,2,3\},$$

$$\tag{16} f^0~=~ -\frac{i}{2}Y\phi^*, \qquad f^k~=~0,$$

$$\tag{17} J^0~=~ iY\phi^*, \qquad J^k~=~-\frac{1}{2m}Y\partial^k\phi^*,$$

und die entsprechenden komplex konjugierten Beziehungen von Gl. (15)-(17). Die infinitesimale komplexe Eichtransformation ist als definiert

$$\tag{18} \delta A_{\mu}~=~d_{\mu}\varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \delta A_{\mu}^*~=~d_{\mu}\varepsilon^*.$$

Die Lagrange-Dichte (11) lautet

$$\widetilde{\cal L} ~=~\frac{i}{2}(\phi^*D_0\phi - \phi D_0\phi^*) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi +\frac{i}{2}(\phi Y^* A_0^* - \phi^*Y A_0)$$ $$\tag{19} ~=~\frac{i}{2}\left(\phi^*(\partial_0\phi-2Y A_0) - \phi (\partial_0\phi-2YA_0)^*\right) - \frac{1}{2m} \sum_{k=1}^3(D_k\phi)^*D^k\phi .$$

Wir betonen, dass die Lagrange-Dichte $\widetilde{\cal L}$ist nicht nur die minimal gekoppelte ursprüngliche Lagrange-Dichte$\left.{\cal L}\right|_{\partial\phi\to D\phi}$. Der letzte Begriff auf der rechten Seite. von Gl. (11) ist auch wichtig. Eine infinitesimale Eichtransformation der Lagrange-Dichte ist

$$\tag{20} \delta\widetilde{\cal L}~=~\frac{i}{2}d_0(\varepsilon^*Y^*\phi -\varepsilon Y\phi^*) + i|Y|^2(\varepsilon A_0^* - \varepsilon^* A_0)$$

für beliebige infinitesimale $x$-abhängiger lokaler Pegelparameter $\varepsilon=\varepsilon(x)$. Beachten Sie, dass die lokalen komplexen Transformationen (14) und (18) keine (quasi) Eichsymmetrie der Lagrange-Dichte (19) sind. Die Obstruktion ist der zweite Term auf der rechten Seite. von Gl. (20). Nur der erste Term auf der rechten Seite. von Gl. (20) ist eine Gesamtzeitableitung. Beschränken wir jedoch den Eichparameter $\varepsilon$und das Eichfeld $A_{\mu}$zu einer festen komplexen Richtung in der komplexen Ebene gehören,

$$\tag{21}\varepsilon,A_{\mu}~\in ~ e^{i\theta}\mathbb{R}.$$

Hier $e^{i\theta}$ist ein fester Phasenfaktor, dh wir lassen nur einen einzigen realen Pegel dof. Dann den zweiten Term auf der rechten Seite. von Gl. (20) verschwindet, also hat die geeichte Lagrange-Dichte (19) gemäß Theorem 1 eine reelle (quasi) Eichsymmetrie. Man beachte, dass das Feld $\phi$ist auch mit der Einschränkung (21) immer noch eine vollkomplexe Variable. Beachten Sie auch, dass die Lagrange-Dichte (19) sowohl die realen als auch die imaginären lokalen Verschiebungstransformationen (14) als (quasi) Eichsymmetrien über die Restriktionskonstruktion (21) behandeln kann, wenn auch nicht gleichzeitig.

III) Eine unvollständige Liste für weitere Studien:

1. Peter West, Introduction to Supersymmetry and Supergravity, 1990, Kap. 7.

2. Henning Samtleben, Vorlesungen über Gauged Supergravity and Flux Compactifications, Class. Menge Grav. 25 (2008) 214002, arXiv:0808.4076 .

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$^1$Die Transformation (1) wird der Einfachheit halber als sogenannte vertikale Transformation angenommen. Generell könnte man auch horizontale Beiträge durch Variation von $x$.

$^2$Zum Begriff der Quasisymmetrie siehe zB diese Phys.SE-Antwort.

$^3$Hier das $\approx$Symbol bedeutet Gleichheit Modulo Bewegungsgleichung (eom). Die Wörter on-shell und off-shell beziehen sich darauf, ob eom zufrieden ist oder nicht.

Zunächst einmal kann man eine Symmetrie nicht abschätzen, ohne die Feldinhalte zu modifizieren (anzureichern). Eine Symmetrie zu messen bedeutet , ein Eichfeld und die entsprechenden Wechselwirkungen hinzuzufügen (z. B. indem alle Terme mit Ableitungen kovariantisiert werden, sowohl im Fall von Yang-Mills- als auch von Diffeomorphismus-Symmetrien).

Globale und Eichsymmetrien sind unterschiedliche Einheiten, wenn es um ihre physikalische Interpretation geht; aber sie sind auch unterschiedliche Einheiten, wenn es um den Grad der Symmetrie geht, den sie tatsächlich tragen.

Hinsichtlich des letztgenannten Unterschieds ist eine Symmetrie eine Eichsymmetrie, wenn die Parameter der Transformationen $\lambda$kann von den Raumzeitkoordinaten abhängen, $\lambda = \lambda(\vec x,t)$. Wenn sie es können, können sie es, und die Theorie hat eine Eichsymmetrie; wenn sie es nicht können, können sie es nicht, und die Theorie hat höchstens eine globale Symmetrie. Hier kann es keine Zweideutigkeit geben; Sie können "eine Symmetrie nicht messen, indem Sie überhaupt nichts ändern".

Bezüglich des erstgenannten Unterschieds sind die Eichsymmetrien als Redundanzen zu behandeln: Die physikalischen Konfigurationen (klassisch) bzw. Quantenzustände (quantenmechanisch) müssen als physikalisch identisch angesehen werden, wenn sie sich nur durch eine Eichtransformation unterscheiden. Für Lie-Eichsymmetrien bedeutet dies, dass physikalische Zustände durch die Erzeuger der Eichsymmetrien vernichtet werden müssen. Für jede lokale Symmetrie, wie im vorherigen Absatz beschrieben, erzeugt man typischerweise unphysikalische Zustände (mit negativer Norm usw.) und sie müssen entkoppelt werden – indem sie als unphysikalische klassifiziert werden.

Im Fall von Yang-Mills kann eine globale Symmetrie gemessen werden, aber das endgültige Spektrum sollte anomaliefrei sein, da Eichanomalien physikalische Inkonsistenzen sind, genau weil Eichsymmetrien nur Redundanzen sind und man sie nicht spontan "brechen" darf, weil sie es wirklich sind Reduzieren Sie das physikalische Spektrum auf ein konsistentes. Darin unterscheiden sie sich von den globalen Symmetrien, die gebrochen werden können. Selbstverständlich kann sogar eine anomale globale Symmetrie gemessen werden, indem die Eichfelder und andere Felder hinzugefügt werden, die in der Lage sind, die Eichanomalie aufzuheben.

Schließlich die Verschiebungsinvarianz des masselosen Dirac $\psi$entspricht in Ihrem Beispiel physikalisch der Möglichkeit, dem System ein Fermion mit Nullimpuls und Nullenergie hinzuzufügen. Es ist nur ein Weg, eine "neue Lösung" dieser Theorie zu finden, die möglich ist, weil $\psi$nur über Ableitungsterme gekoppelt ist. Die Symmetrie wäre keine Symmetrie, wenn es einen Massenterm gäbe.

Sie können diese Symmetrie leicht abschätzen, indem Sie $\psi$mit $\psi+\theta$überall in der Aktion und Förderung von $\theta$zu einem neuen Feld – das eine ähnliche Rolle spielt wie das neue Eichfeld $A_\mu$wenn Sie eine Yang-Mills-ähnliche globale Symmetrie messen. Dadurch haben Sie doppelt so viele fermionische Freiheitsgrade außerhalb der Schale, aber die Aktion hängt nicht von einem von ihnen ab, $\psi+\theta$(das entgegengesetzte Vorzeichen), überhaupt. Dieses Feld wird also gespenstische Partikel erzeugen, die mit nichts anderem interagieren – tatsächlich haben sie nicht einmal kinetische Terme. Natürlich sollten diese dynamisch unbestimmten Quanten nicht in einer physikalischen Theorie gezählt werden (obwohl sie in gewissem Sinne „nur“ die Entartung jedes Zustands der physikalischen Felder um einen unendlichen zusätzlichen Faktor erhöhen), also der richtige Weg, sie zu behandeln, wie immer in Eichtheorien, zu fordern, dass physikalische Zustände solche Quanten nicht enthalten können.

Diese Anforderung führt Sie effektiv zur ursprünglichen Theorie zurück, nur mit $\psi$umbenannt in $\psi+\theta$. Auf diese Weise erhalten Sie keine neue interessante Theorie, und es gibt keinen Grund, warum das Messen einer Symmetrie immer eine so interessante neue Theorie hervorbringen sollte. Der Fall von Yang-Mills-Theorien oder allgemein kovarianten Theorien ist anders, weil sie interessant sind: Mit einem Lorentz-kovarianten Feldinhalt kann man Theorien ohne Geister (Negativnorm-Zustände) erstellen, obwohl sie die Existenz von Spin- Eins- oder Spin-Zwei-Teilchen (aus dem Eichfeld – das ist der metrische Tensor im Spin-Zwei-Fall). Dies ist jedoch nur möglich, weil diese Theorien speziell sind und die Wirkung der Symmetrietransformationen weniger trivial ist als in Ihrem Fall. "Verschiebungs"-Symmetrien dürfen nur so gemessen werden, dass ganze Felder umbenannt oder gelöscht werden, sodass sie einfach nicht zu interessanten neuen Möglichkeiten führen können.

Unter der Annahme, dass die folgenden Manipulationen korrekt sind, kann die Translationssymmetrie Ihrer Lagrange-Funktion gemessen werden, indem Sie ein skalares Eichfeld $\phi$und ein Messfeld $A_{\mu}$.

Zunächst einmal können wir unter der Annahme, dass die Randterme keinen Beitrag leisten, die Lagrange-Dichte schreiben als

$$\mathscr L=\psi^\dagger i\partial_t\psi-\frac{1}{2m}(\partial^{\mu}\psi)^{\dagger}\partial_{\mu}\psi.$$

Schreiben Sie nun $\psi$als $\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$die Übersetzung von $\psi$kann geschrieben werden als $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

Lie-Algebra der Gruppe von Matrizen der Form $\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1+i\theta_2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$ist die Menge der Matrizen $\left[ \begin{array}{cc} 0 & a+ib\\ 0 & 0\\ \end{array}\right]$

Um nun diese Symmetrie abzuschätzen, führe eine Lie-Algebra mit dem Wert eins der Form $A=A_{\mu}dx^{\mu}$die unter einer Messgerättransformation

$\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]\rightarrow \left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\psi(x)\\1\end{array}\right]$

transformieren als

$A_{\mu}\rightarrow g(x)A_{\mu}g(x)^{-1}+(\partial_{\mu}g(x))g(x)^{-1}$

Wobei $g(x)=\left[ \begin{array}{cc} 1 & \theta_1(x)+i\theta_2(x)\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]$

Wir bemerken jedoch, dass die Lagrange-Funktion

$$\mathscr L=\psi^\dagger i(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

ist nicht eichinvariant und auch nicht reell.

Hindernis für die Eichinvarianz ist die Tatsache, dass $\psi^{\dagger}$transformiert nicht durch richtige Multiplikation mit $g(x)^{-1}$sondern durch rechte Multiplikation mit $g(x)^{\dagger}$

Um die Eichinvarianz zu reparieren, kann man ein matrixwertiges skalares Eichfeld $\phi$dessen Exponential unter Spurwechsel ändert sich als

$exp(\phi(x))\rightarrow (g(x)^{\dagger})^{-1}exp(\phi(x))g(x)^{-1}$

(wie funktioniert $\phi$ändern? Ich bin nicht sicher)

Dann sehen wir, dass die Lagrange-Funktion

$$\mathscr L=\psi^\dagger iexp(\phi(x))(\partial_t-A_t)\psi-\frac{1}{2m}((\partial^{\mu}-A^{\mu})\psi)^{\dagger}exp(\phi(x))(\partial_{\mu}-A_{\mu})\psi.$$

ist eichinvariant. Aber immer noch ist die Lagrange-Funktion nicht real. Um dies zu beheben, können wir komplexe Konjugate jedes Begriffs darin einfügen.