Satz von Noether, Eichsymmetrie und Ladungserhaltung

Kommentare zur Frage (v1):

1. Das Letzte zuerst. Auf der Schale bedeutet (in diesem Zusammenhang), dass Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind. Bewegungsgleichungen bedeutet Euler-Lagrange-Gleichungen . Off-shell bedeutet streng genommen nicht on-shell, wird aber in der Praxis immer im Sinne von nicht unbedingt on-shell verwendet. [Lassen Sie uns betonen, dass jede infinitesimale Transformation eine On-Shell-Symmetrie einer Aktion ist, also ist eine On-Shell-Symmetrie ein leerer Begriff. Wenn wir also in der Physik behaupten, dass eine Aktion eine Symmetrie hat, wird immer implizit verstanden, dass die Symmetrie eine Off-Shell-Symmetrie ist. ]

2. OP hat geschrieben: Hier ist meine erste Frage: Ist dies wirklich die Demonstration der Erhaltung der (elektrischen) Ladung? Für diese bestimmte Aktion: Ja. Allgemeiner für QED: Nein, weil die$4$-Eichpotential$A_{\mu}$, der Maxwell-Term$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, und die minimale Kopplung fehlen in der Aktion von OP. Es reicht im Prinzip nicht aus, nur den Materiesektor zu betrachten. Andererseits globale Spursymmetrie für die volle Aktion$S[A,\Psi]$führt zur Ladungserhaltung, vgl. Noethers erster Satz . [Zwei Kommentare, um den Punkt zu verdeutlichen, dass es notwendig ist, auch den Eichsektor zu berücksichtigen: (i) Wenn wir skalare QED (eher als gewöhnliche QED) machten, ist bekannt, dass der Noether-Strom$j^{\mu}$kommt eigentlich drauf an$4$-Eichpotential$A_{\mu}$, also ist der Spurweitenbereich wichtig, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. (ii) Ein weiteres Problem ist, dass, wenn wir der Methode von OP folgen und die behandeln sollen$4$-Messpotential$A_{\mu}$als klassischen Hintergrund (den OP auf Null setzt), dann sollten wir vermutlich auch die Maxwellschen Gleichungen annehmen$d_{\mu}F^{\mu\nu}=-j^{\nu}$. Die Maxwell-Gleichungen implizieren selbst die Kontinuitätsgleichung$d_{\mu}J^{\mu}=0$noch bevor wir Noethers Theoreme anwenden.]

3. Mit lokaler Pegelsymmetrie ist per se keine Erhaltungsgröße verbunden, vgl. Zweiter Satz von Noether . (Seine Off-Shell-Noether-Identität ist eine Trivialität. Siehe auch diese Phys.SE-Frage.)

4. Vielleicht ein hilfreicher Vergleich. Es ist möglich, ein EM-Modell der Form zu betrachten

   $$S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$$ wo$J^{\mu}$werden als passive nicht-dynamische klassische Hintergrundmaterialquellen behandelt. Mit anderen Worten, nur die Anzeigefelder$A_{\mu}$sind dynamische Variablen in diesem Modell. Bevor wir überhaupt anfangen, müssen wir die lokale (off-shell) Messsymmetrie der Aktion sicherstellen$S[A]$bis zu den Randbedingungen. Dies impliziert, dass die klassischen Hintergrundquellen$J^{\mu}$muss die Kontinuitätsgleichung erfüllen$d_{\mu}J^{\mu}=0$aus der Schale. Somit wird uns ein Erhaltungssatz aufgezwungen, noch bevor wir die Sätze von Noether anwenden. Beachten Sie, dass die globale Eichsymmetrie in diesem Modell eine leere Aussage ist.

Ist das wirklich die Demonstration der Ladungserhaltung?

Ja. Die Gebühr ist definiert als$Q = \int d^3x~j^0$, so$\partial_\mu j^\mu = 0$zeigt, dass es konserviert ist.

Bis jetzt scheint es mir, dass ich nur gezeigt habe, dass der Wahrscheinlichkeitsfluss erhalten bleibt, es gibt im Moment keine Ladung ...

Was Sie gezeigt haben, ist, dass der Strom erhalten bleibt. Ich denke nicht, dass Sie dies einen "Wahrscheinlichkeitsfluss" nennen sollten; es klingt wie Sie verwirrend sind$\Psi$mit einer Wellenfunktion, obwohl es sich tatsächlich um ein Quantenfeld handelt.

Der OP bat mich, diese Frage zu beantworten. Nun, alle Fragen scheinen sich auf die "Notwendigkeit" des Satzes von Noether zu beziehen.

Die Antwort lautet also, dass Noethers Verfahren der Weg ist, den Strom aus einer bekannten Symmetrie abzuleiten. Das ist sehr nützlich, weil wir normalerweise sehr gut wissen, wie sich eine Symmetrie verhält – weil wir wissen, wie sich Felder unter ihr verändern oder wie sich Dinge unter Raumzeitoperationen drehen oder verschieben usw. Andererseits wird die genaue Form des konservierten Stroms viel weniger offensichtlich , insbesondere wenn wir beginnen, verschiedene Interaktionen hinzuzufügen. Es gibt "so ziemlich" nur eine Lösung, wie der Strom erhalten werden kann, und Noethers Verfahren ist ein Weg, um diese richtige Form zu erhalten. Nun, ja, die Form des Stroms ist in der Lagrange-Funktion oder den Bewegungsgleichungen „enthalten“, aber es ist nicht offensichtlich, wie man sie „extrahiert“ – und deshalb schätzen wir Noethers Verfahren. Wenn Sie einen anderen Algorithmus zum Extrahieren haben, teilen Sie uns dies mit.

Nun zurück zum ersten Beispiel in der Frage.

Für die nicht-wechselwirkenden Felder bleibt die Anzahl der Teilchen – ihre Quanten – vollständig erhalten. Eigentlich jedes freie Artenfeld$s$in jedem Zustand, der durch einen Impuls gegeben ist$k$und Polarisierung$\lambda$etc. wird geschont,$N_{s,\lambda,\dots}(k,\dots)={\rm const}$. Aber dies ist eindeutig nur eine spezielle Situation, wenn die Wechselwirkungen nicht existieren und dieser Fall physikalisch nicht interessant ist.

Die interessanten Theorien beginnen erst, wenn wir einige Wechselwirkungen haben . Sie zerstören fast alle diese "Erhaltungsgesetze". Insbesondere stimmt es nicht, dass die Anzahl der Teilchen in der Quantenfeldtheorie erhalten bleibt. Wir können Elektron-Positron-Paare aus reiner Energie erzeugen und so weiter. Nur einige Größen wie Ladungen, Energie/Impuls, Drehimpuls sind erhalten, sie stehen in einer Eins-zu-eins-Übereinstimmung mit den Symmetrien, und die entsprechenden Ströme (einschließlich des Spannungs-Energie-Tensors) können über das Noether-Verfahren abgeleitet werden.